[論文レビュー] Learning Parameters and Constitutive Relationships with Physics Informed Deep Neural Networks

Alexandre M. Tartakovsky, Carlos Ortiz Marrero+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 19被引用数 76

ひとこと要約

物理情報を取り入れた深層ニューラルネットワークは、データと支配方程式の双方を用いてPDEの未知パラメータと物性関係を推定し、測定の一部が欠損していても適用可能です。

ABSTRACT

We present a physics informed deep neural network (DNN) method for estimating parameters and unknown physics (constitutive relationships) in partial differential equation (PDE) models. We use PDEs in addition to measurements to train DNNs to approximate unknown parameters and constitutive relationships as well as states. The proposed approach increases the accuracy of DNN approximations of partially known functions when a limited number of measurements is available and allows for training DNNs when no direct measurements of the functions of interest are available. We employ physics informed DNNs to estimate the unknown space-dependent diffusion coefficient in a linear diffusion equation and an unknown constitutive relationship in a non-linear diffusion equation. For the parameter estimation problem, we assume that partial measurements of the coefficient and states are available and demonstrate that under these conditions, the proposed method is more accurate than state-of-the-art methods. For the non-linear diffusion PDE model with a fully unknown constitutive relationship (i.e., no measurements of constitutive relationship are available), the physics informed DNN method can accurately estimate the non-linear constitutive relationship based on state measurements only. Finally, we demonstrate that the proposed method remains accurate in the presence of measurement noise.

研究の動機と目的

• 限られたデータでPDEのパラメータおよび物性閉包問題の解決に動機づける。
• 状態と未知関数を同時に学習する物理情報を取り入れたDNNフレームワークを開発する。
• 線形拡散方程式における空間依存の拡散係数の学習を実証する。
• 非線形拡散方程式における状態依存の物性関係の学習を実証する。
• 従来のMAPベースのアプローチと性能を比較し、ノイズへの頑健性を評価する。

提案手法

• 状態 u(x) と未知の物性関係 K(x,u) のための2つのDNNを定義する。
• DNNをPDEと境界条件に代入して補助的なDNNを構築し、微分を自動微分によって計算する。
• データ適合度、境界条件残差、そしてコリジョン点におけるPDE残差を組み合わせた損失を最小化してネットワークを学習する。
• トレーニングには Xavier 初期化を用いた準ニュートン法 L-BFGS-B 最適化を使用する。
• K(x)を用いた線形拡散と、K(u)を用いた非線形拡散で、ノイズ耐性を含めた性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理情報を取り入れたDNNは、Kとuの部分的な測定から未知の空間依存拡散係数 K(x) を正確に学習できるか？
• RQ2 Kが全く未知の場合に、uの測定だけを用いて未知の非線形物性関係 K(u) を回復できるか？
• RQ3 PDE制約を組み込むことが、従来のMAP法と比較して推定精度にどう影響しますか？
• RQ4 初期化、コリジョン点の配置、および測定のまばらさに対する方法の感度はどの程度か？

主な発見

• K(x)を伴う線形拡散で部分測定の場合、uの相対L2誤差は約0.5%、Kは約1.7%だった。
• PDE制約を課すことでKとuの誤差を約50%低減した。
• K測定はu測定よりも誤差低減に有益であり、Kデータを増やすとKとuの推定の両方が改善する。
• K(u)が未知で直接のK測定がない非線形拡散の場合でも、状態測定だけからK(u)を正確に推定する。
• 観測ノイズが1%未満のときも精度を保ち、検証シナリオではuの相対誤差7.4e-4、Kの相対誤差6.4e-3であった。