[論文レビュー] Physics and the choice of regulators in functional renormalisation group flows

Jan Μ. Pawlowski, Michael M. Scherer+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、関数的走査群（FRG）フローにおけるレギュレータ選択が切り捨て計算に与える影響を調査し、理論空間内でのRG軌道長を最小化することに基づく実用的な最適化手順を提案する。多 field モデル、例えば O(2)⊕O(2) システムやフェルミポラロン系において、レギュレータの形状と相対的カットオフスケールが結果に顕著な影響を及ぼすことが示され、切り捨てにおける物理的一致性と正確性を保証するためのレギュレータ選択の注意深い検討が不可欠であることが強調されている。

ABSTRACT

The Renormalisation Group is a versatile tool for the study of many systems where scale-dependent behaviour is important. Its functional formulation can be cast into the form of an exact flow equation for the scale-dependent effective action in the presence of an infrared regularisation. The functional RG flow for the scale-dependent effective action depends explicitly on the choice of regulator, while the physics does not. In this work, we systematically investigate three key aspects of how the regulator choice affects RG flows: (i) We study flow trajectories along closed loops in the space of action functionals varying both, the regulator scale and shape function. Such a flow does not vanish in the presence of truncations. Based on a definition of the length of an RG trajectory, we suggest a practical procedure for devising optimised regularisation schemes within a truncation. (ii) In systems with various field variables, a choice of relative cutoff scales is required. At the example of relativistic bosonic two-field models, we study the impact of this choice as well as its truncation dependence. We show that a crossover between different universality classes can be induced and conclude that the relative cutoff scale has to be chosen carefully for a reliable description of a physical system. (iii) Non-relativistic continuum models of coupled fermionic and bosonic fields exhibit also dependencies on relative cutoff scales and regulator shapes. At the example of the Fermi polaron problem in three spatial dimensions, we illustrate such dependencies and show how they can be interpreted in physical terms.

研究の動機と目的

• 切り捨てられた関数的走査群（FRG）フローにおけるレギュレータ依存性を扱う。これは、物理的にレギュレータに依存しないにもかかわらず、物理的結果を歪めることもある。
• 与えられた切り捨て内でのレギュレータ選択のための実用的な最適化フレームワークを構築すること。特に、理論空間内でのRG軌道長の最小化に焦点を当てる。
• 相対的カットオフスケールとレギュレータ形状が多 field システム（相対論的ボソン系や非相対論的フェルミオン＝ボソン系を含む）に与える影響を調査すること。
• 切り捨てに起因するレギュレータ依存性が、特に複数の場や対称性を持つモデルにおける臨界指数や物理的観測量にどのように影響を与えるかを明確化すること。
• 明示的なレギュレータおよびスケール選択を通じて、FRG 結果の信頼性を評価・向上させるための体系的な手法を提供すること。

提案手法

• 最適化のための幾何的基準を導入：理論空間内でのRG軌道長を、関数空間内でのフロー経路に沿った積分によって定義する。
• レギュレータスケールと形状の同時変更下での理論空間内での閉ループに対する可積分性条件を導出し、切り捨てスキームにおいて非ゼロのフローが生じることを明らかにする。
• O(1) モデルおよび O(2)⊕O(2) モデルにおいて、平坦、鋭い、線形補間レギュレータなどのレギュレータを、軌道長基準に基づいて比較応用する。
• 平坦レギュレータの $ J^{ ext{A}}( u) $ や鋭いレギュレータの $ J^{ ext{B}}( u) $ といったレギュレータ微分を含む段階関数のフロー方程式を明示的に用い、フローにおける不連続性を計算する。
• フェルミポラロン問題を3次元で扱い、ドメアと不純物伝播関数の連立フロー方程式を用い、フェルミオンおよびボソン場に別々にレギュレータを作用させる。
• 平坦レギュレータから鋭いレギュレータへの連続的補間をパラメータ $ c $ を用いて行い、$ c \to \infty $ の極限をとることで不連続性を抽出し、レギュレータ感度を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レギュレータ形状の選択が、多 field システムにおける切り捨てられた FRG フローの収束性と正確性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 O(2)⊕O(2) のようなモデルにおいて、異なる場の間の相対的カットオフスケールが、臨界指数などの物理的結果にどの程度影響を及ぼすか？
• RQ3 理論空間内でのRG軌道長を最小化するという幾何的基準を、切り捨てにおけるレギュレータ選択を体系的に最適化するために用いることができるか？
• RQ4 平坦レギュレータと鋭いレギュレータの間を補間する際のフローにおける不連続性が、物理的にどのような意味を持つのか？
• RQ5 非相対論的モデル、例えばフェルミポラロンにおいて、レギュレータ依存効果はどのように現れ、物理的に解釈可能か？

主な発見

• 理論空間内でのRG軌道長は、レギュレータの品質を定量化する指標として有効であり、短い軌道は収束性の向上と切り捨てによる歪みの低減を示す。
• 有限レギュレータから鋭いレギュレータへの補間において、不連続性が生じる。これは、鋭いレギュレータの低エネルギー領域における無限大の微分が支配的であり、わずかな寄与に対してもフローに顕著な影響を与えるためである。
• O(2)⊕O(2) モデルでは、2つの O(2) 場間の相対的カットオフスケールを変化させることで、異なる普遍性クラス間のクロスオーバーが生じることを示し、このような選択が任意ではなく、物理的根拠を持つべきであることを示している。
• 3次元フェルミポラロンにおいては、レギュレータ形状と相対的カットオフスケールが逆伝播関数のフローに顕著な影響を及ぼし、スクリーニングや相関効果と関連する物理的解釈が可能である。
• 提案された最適化手順（軌道長の最小化）は、与えられた切り捨て内でのレギュレータ選択を実用的かつ体系的に行う方法を提供し、信頼性の向上と系統的誤差の低減を図る。
• 明示的な計算により、鋭いレギュレータに起因するフローの不連続性が、連続的極限（$ c \to \infty $）をとることで抽出可能であり、対応する対数発散が有効ポテンシャルの定数項シフトに対応し、差し引きによって除去可能であることが明らかになった。