[論文レビュー] Pictures and equations of motion in Lagrangian quantum field theory

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|Feb 1, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、状態ベクトルが時空に依存するが、場の演算子は一定のままとなる、ラグランジュ形式量子場理論における新規な定式化、すなわち運動量図式を導入する。これにより、運動方程式が代数的方程式となる。標準的図式（シュレーディンガー、ハイゼンベルグ、相互作用）を共変な枠組みに一般化し、多項式または収束級数型のラグランジアンに対して運動方程式を導出する。運動量図式では、場の演算子の動的記述が特に単純な代数的構造となる。

ABSTRACT

The Heisenberg, interaction, and Schrödinger pictures of motion are considered in Lagrangian (canonical) quantum field theory. The equations of motion (for state vectors and field operators) are derived for arbitrary Lagrangians which are polynomial or convergent power series in field operators and their first derivatives. The general links between different time-dependent pictures of motion are derived. It is pointed that all of them admit covariant formulation, similar to the one of interaction picture. A new picture, called the momentum picture, is proposed. It is a 4-dimensional analogue of the Schrödinger picture of quantum mechanics as in it the state vectors are spacetime-dependent, while the field operators are constant relative to the spacetime. The equations of motion in momentum picture are derived and partially discussed. In particular, the ones for the field operators turn to be of algebraic type. The general idea of covariant pictures of motion is presented. The equations of motion in these pictures are derived.

研究の動機と目的

• ラグランジュ形式量子場理論における運動の異なる図式の形式的体系を体系的かつ統一的に発展・統合すること。
• 一般ラグランジアンに対して、ハイゼンベルグ型およびオイラー＝ラグランジュ型の運動方程式を、すべての標準的図式（ハイゼンベルグ、相互作用、シュレーディンガー）において導出すること。
• 状態ベクトルが時空に依存するが場の演算子は一定であるという、新たな図式、すなわち運動量図式を提唱・形式化すること。
• 時間に依存する図式の共変な定式化を確立し、相互作用図式を相対論的に不変な枠組みへ拡張すること。
• 運動量図式が場の演算子に対して代数的運動方程式をもたらし、その動的記述が単純化されることを示すこと。

提案手法

• 物理的行列要素を保存するように、異なる運動図式を結ぶユニタリ変換を用いる。
• 場およびその一次微分に関する多項式または収束級数型の一般ラグランジアンにオイラー＝ラグランジュ方程式を適用して運動方程式を導出する。
• 時空に依存するユニタリ変換を定義することで運動量図式を導入し、時間依存性を場の演算子から状態ベクトルへ移動させる。
• 正準交換関係とラグランジュ形式論を用いて、ハイゼンベルグ図式および運動量図式の運動方程式を導出する。
• 運動量、角運動量、電荷生成子に基づく時空に依存する関数でパrameter化されたユニタリ演算子を用いて、共変な図式の一般枠組みを確立する。
• ネーターの定理を適用して、各図式における保存量（運動量、角運動量、電荷など）を定義し、相対論的不変性と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的図式（シュレーディンガー、ハイゼンベルグ、相互作用）を、量子場理論における共変な枠組みへ体系的に一般化する方法は何か？
• RQ2 提案された運動量図式における場の演算子および状態ベクトルの運動方程式は何か？他の図式とどのように異なるか？
• RQ3 運動量図式は明示的にローレンツ共変な形で定式化可能か？その動的意味は何か？
• RQ4 ユニタリ変換は異なる図式をどのように結びつけるか？物理的観測量をどのように保存するか？
• RQ5 運動量図式では運動方程式がどのように単純化されるか？特に代数的構造と微分的構造の観点からどのように異なるか？

主な発見

• 運動量図式は、状態ベクトルが時空に依存するが場の演算子は一定である4次元的シュレーディンガー図式の類似物として導入される。
• 運動量図式では、場の演算子の運動方程式が代数的方程式に簡略化され、他の図式における微分方程式と比較して、その動的記述が著しく単純化される。
• ハイゼンベルグ図式、相互作用図式、シュレーディンガー図式は、すべて相互作用図式に類似した共変な定式化を備えており、ローレンツ不変性を保つ。
• 運動量、角運動量、電荷生成子の関数でパラメータ化された時空に依存する関数を用いたユニタリ演算子を用いることで、共変な図式の一般枠組みが確立される。
• 運動量図式が正準形式論およびネーターの定理と整合しており、保存則が保たれることを示した。
• 本稿では、図式間の移行が物理的行列要素をすべて不変に保つユニタリ変換によって実現されることを示した。これにより、理論の物理的内容が保存される。