[論文レビュー] Piecewise Analytic Subactions for Analytic Dynamics

Gonzalo Contreras, Artur O. Lopes+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、区間 [0,1] 上の区分的解析的拡大写像における解析的ポテンシャル β log g に関連するリュエル作用素の固有関数 φ_β の漸近的挙動を調査する。一意性および一般性の条件下で、β → ∞ のときの 1/β log φ_β の極限が、区間全体で解析的であるとは限らないが、区分的解析的であるキャリブレートされたサブアクションであることを証明する。解析性は、最大測度の台に依存する。

ABSTRACT

We consider a piecewise analytic expanding map f: [0,1]-> [0,1] of degree d which preserves orientation, and an analytic positive potential g: [0,1] -> R. We address the analysis of the following problem: for a given analytic potential beta log g, where beta is a real constant, it is well known that there exists a real analytic (with a complex analytic extension to a small complex neighborhood of [0,1]) eigenfunction phi_beta for the Ruelle operator. One can ask: what happen with the function phi_beta, when beta goes to infinity. The domain of analyticity can change with beta. The correct question should be: is 1/ beta log phi_beta analytic in the limit, when beta goes to infinity ? Under a uniqueness assumption, this limit, when beta goes to infinity, is in fact a calibrated subaction V (see bellow definition). We show here that under certain conditions and for a certain class of generic potentials this continuous function is piecewise analytic (but not analytic). In a few examples one can get that the subaction is analytic (we need at least to assume that the maximizing probability has support in a unique fixed point).

研究の動機と目的

• β → ∞ のとき、リュエル作用素の固有関数 φ_β の極限挙動を理解すること。
• スケーリングされた対数 1/β log φ_β がキャリブレートされたサブアクション V に収束するかどうかを特定すること。
• 解析的ポテンシャルおよび拡大写像の条件下で、極限サブアクション V の正則性を調査すること。
• V が完全に解析的ではなく、区分的解析的である条件を確立すること。
• 最大測度の台がサブアクションの解析性に与える影響を調査すること。

提案手法

• 区間 [0,1] 上の次数 d の区分的解析的拡大写像に対して、解析関数に作用するリュエル作用素を分析する。
• 正の解析的ポテンシャル g と、それに関連するリュエル作用素の固有関数 φ_β（β log g に対応）を考察する。
• φ_β を [0,1] の複素近傍で研究するために、複素解析的拡張技術を適用する。
• 一意性仮定を用いて、1/β log φ_β が一意なキャリブレートされたサブアクション V に収束することを保証する。
• 熱力学的形式主義およびサブアクション理論の技術を用いて、V の正則性を分析する。
• 最大測度の台の構造を分析することで、V の構造を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 β → ∞ のとき、1/β log φ_β の極限が存在し、キャリブレートされたサブアクションに収束するか？
• RQ2 極限サブアクション V が解析的ではなく、区分的解析的である条件は何か？
• RQ3 最大測度の台がサブアクション V の解析性にどのように影響するか？
• RQ4 最大測度が複数の点に台を持つ場合でも、V が解析的であることは可能か？
• RQ5 ポテンシャルの一般性が、V の正則性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 一意性仮定のもとで、β → ∞ のとき 1/β log φ_β はキャリブレートされたサブアクション V に収束する。
• 極限サブアクション V は区分的解析的であるが、[0,1] 全体で解析的であるとは限らない。
• V の解析性が保証されるのは、最大測度の台が単一の不動点にある場合に限る。
• 一般ポテンシャルの下では、V は最大測度の台に起因する特定の点での微分の不連続性により、区分的解析的構造を示す。
• φ_β の解析的領域は β に依存して変化するが、極限挙動は一意なサブアクション V に安定化する。
• 一般に、V は解析的ではない。解析的ポテンシャルに対しても、最大測度が一意な不動点に台を持つ場合に限り、V は解析的である。