[論文レビュー] Planar Diffusions with Rank-Based Characteristics: Transition Probabilities, Time Reversal, Maximality and Perturbed Tanaka equations

E. Robert Fernholz, Tomoyuki Ichiba+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2次元系におけるリーダーとラグガーの相対的位置に基づき、異なる拡散係数と拡散係数を有するランクに基づくダイナミクスを有する平面的拡散過程を構築する。弱解および強解を用いて解の存在と一意性を確立し、明示的な遷移確率を導出し、時間反転によって局所時間に結びついた特異的成分が生じることを示す。これは、局所時間解析と摂動タナカ方程式を用いて、スケューク・ブラウン運動を一般化するものである。

ABSTRACT

We construct a planar diffusion process whose infinitesimal generator depends only on the order of the components of the process. Speaking informally and a bit imprecisely for the moment, imagine you run two Brownian-like particles on the real line. At any given time, you assign positive drift g and diffusion σ to the laggard; and you assign negative drift -h and diffusion ρ to the leader. We compute the transition probabilities of this process, discuss its realization in terms of appropriate systems of stochastic differential equations, study its dynamics under a time reversal, and note that these involve singularly continuous components governed by local time. Crucial in our analysis are properties of Brownian and semimartingale local time; properties of the generalized perturbed Tanaka equation which we study here in detail; and those of a one-dimensional diffusion with bang-bang drift. We also show that our planar diffusion can be represented in terms of a process with bang-bang drift, its local time at the origin, and an independent standard Brownian motion, in a form which can be construed as a two-dimensional analogue of the stochastic equation satisfied by the so-called skew Brownian motion.

研究の動機と目的

• 2つの成分の相対的ランク（リーダー対ラグガー）に応じてダイナミクスが変化する2次元拡散過程を構築すること。
• このランクに基づく拡散過程の明示的な遷移確率を導出すること。
• 時間反転における過程の挙動を分析し、特に局所時間によって支配される特異的連続成分が果たす役割を明らかにすること。
• 確率微分方程式および局所時間理論を用いて、弱解および強解の存在と一意性を確立すること。
• 1次元のバング・バング型ドリフトと局所時間を持つ拡散過程を用いて、平面的拡散過程を表現することで、スケューク・ブラウン運動を一般化すること。

提案手法

• 過程の無限小生成作用素を、$ x_1 > x_2 $ または $ x_1 \neq x_2 $ に応じて切り替わる2つの状態に従う、区分的定数の2階微分作用素として構築する。
• 状態に依存するドリフトおよび拡散係数を有する確率微分方程式（SDE）の体系を用い、$ X_1(t) $ と $ X_2(t) $ の相対的ランクに応じて係数が切り替わるよう設計する。
• 局所時間と半マルティンゲール成分の相互作用をモデル化するため、有界 Variation を持つ関数 $ f $ を用いた一般化された摂動タナカ方程式 $ dZ(t) = f(Z(t)) dM(t) + dN(t) $ を適用する。
• コアとなる構成要素として、バング・バング型ドリフト $ dY(t) = -\text{sgn}(Y(t)) \theta dt + dW(t) $ を持つ1次元過程 $ Y(t) $ を分析する。
• Lévyの特徴付けおよび局所時間の性質を活用し、経路的一意性と弱解の存在を用いて強解を確立する。
• フィルトレーションの同一性とブラウン運動の補完可能性を用いて、解が自然なブラウン運動のフィルトレーションに適応しており、強解であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の拡散過程を構築可能か？その際、リーダーとラグガーの相対的ランクに応じて異なるドリフトおよび拡散係数が与えられるようにする。
• RQ2 このようなランクに基づく平面的拡散過程の明示的遷移確率は何か？
• RQ3 時間反転において、過程はどのように振る舞い、局所時間は逆方向のダイナミクスにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 平面的拡散過程は、スケューク・ブラウン運動に類似した1次元の拡散過程（バング・バング型ドリフトと局所時間を持つ）を用いて表現可能か？
• RQ5 SDEの系はどのような条件下で弱解または強解を有するか？また、局所時間および摂動タナカ方程式を用いて、その存在をどのように確立できるか？

主な発見

• 平面的拡散過程は、弱解が一意に存在し、さらにその解は強解であることが、関連する摂動タナカ方程式の経路的一意性と弱解の存在を用いて確立された。
• 過程の遷移確率は明示的に計算され、関連するバング・バング型ドリフトを持つ1次元過程 $ Y(t) $ の局所時間に依存することが示された。
• 時間反転において、過程の分布には原点における元の過程の局所時間に支配される特異的連続成分が現れる。
• 平面的拡散過程は、バング・バング型ドリフト $ -\text{sgn}(Y(t)) \theta dt $ を持つ1次元拡散過程 $ Y(t) $、その局所時間 $ L^Y(t) $、および独立なブラウン運動 $ Q(t) $ の関数として表現可能であり、これはスケューク・ブラウン運動の表現を一般化するものである。
• 駆動となるブラウン運動 $ V_1(\bullet) $ および $ V_2(\bullet) $ が、$ (W_1, W_2) $ が生成するフィルトレーションにおいて補完可能であることが示され、最大性および強解の性質が裏付けられた。
• 解はフィルトレーションの同一性 $ \fancyscript{F}^{(W_1,W_2)}(t) = \fancyscript{F}^{(Y,V)}(t) $ によって特徴付けられ、過程が適応的かつ強解であることが証明された。