[論文レビュー] Planar self-affine sets with equal Hausdorff, box and affinity dimensions

K. J. Falconer, Tom Kempton|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、平面自己同相フラクタル集合がハウスドルフ次元、ボックスカウント次元、アフィニティ次元を等しくするための条件を確立している。フラクタル幾何学における重要な結果である。エルゴディック理論とフルステンベルク測度を用いて、Käenmäki測度の射影が絶対連続（ハウスドルフ次元の場合）であるか、あるいは集合の射影が正のLebesgue測度を持つ方向の集合が正の$μ_F$-測度を持つ場合（ボックス次元の場合）、正の行列を有し、強い分離性を満たす自己同相集合に対して、3つの次元が一致することを証明している。

ABSTRACT

Using methods from ergodic theory along with properties of the Furstenberg measure we obtain conditions under which certain classes of plane self-affine sets have Hausdorff or box-counting dimensions equal to their affinity dimension. We exhibit some new specific classes of self-affine sets for which these dimensions are equal.

研究の動機と目的

• 平面自己同相フラクタル集合のハウスドルフ次元、ボックスカウント次元、アフィニティ次元が等しくなる条件を特定すること。
• 非一様収縮性により一般次元一致が成立しない場合に、自己同相フラクタル集合の正確な次元を計算するという長年の課題に取り組むこと。
• 測度論的およびエルゴディック的手法を用いて、Bedford-McMullenカーペットに関する既知の結果をより一般的な自己同相フラクタル集合へと拡張すること。
• 次元一致のための測度に基づく条件と集合に基づく条件の二分法を、カーペット構成における既知の結果に類似した形で、自己同相設定において厳密に確立すること。

提案手法

• 自己同相集合$E$に台を持つKäenmäki測度$\mu$によって誘導される$\mathbb{RP}^1$上のフルステンベルク測度$\mu_F$を用い、次元と方向ごとの射影を結びつける。
• フルステンベルク測度の性質とエルゴディック理論を応用し、$\mu$の異なる方向への射影の次元を分析する。
• Marstrandの射影定理を用いて、射影測度の絶対連続性と次元一致の関係を確立する。
• シリンダ集合とアフィニティ次元に基づいた$E$上の距離$\rho$を構成し、$|\cdot|$から$\rho$への恒等写像が双リプシッツであることを示す。
• アフィニティ次元関数$\alpha_1$の部分乗法性と無限級数の条件を用いて、ハウスドルフ次元の下界を評価する。
• 適切な平行移動制約を満たす共役化された対角行列$P_i \text{diag}(\lambda_i, \mu_i)P_i^{-1}$を用いた明示的例を構成し、強い分離性と互いに交わらない射影を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面自己同相フラクタル集合のハウスドルフ次元がそのアフィニティ次元に等しくなるのはどのような条件下か？
• RQ2 自己同相フラクタル集合のボックスカウント次元がそのアフィニティ次元に一致するのはいつか？
• RQ3 集合の射影およびその不変測度の幾何的性質は、次元一致にどのように関係するか？
• RQ4 自己同相設定において、次元一致のための測度に基づく条件と集合に基づく条件の二分法を、厳密に確立できるか？
• RQ5 どのような明示的な自己同相フラクタル集合の族が、3つの次元がすべて等しくなるか？

主な発見

• フルステンベルク測度$\mu_F$が絶対連続であり、Käenmäki測度$\mu$のハウスドルフ次元が1より大きい場合、$\dim_H E = \dim_B E = \dim_A E$が成り立つ。
• 方向の集合において$\mu_F$-測度が正で、$E$の射影が正のLebesgue測度を持つ場合、$E$のボックスカウント次元とアフィニティ次元は一致する。
• 適切な平行移動制約を満たす共役化された対角行列によって定義される自己同相フラクタル集合のクラスにおいて、吸引子はリプシッツ曲線上にあり、$\dim_H E = \dim_B E = \dim_A E$を満たす。
• 自然トポロジーにおけるIFSパラメータの開集合を構成し、3つの次元が一致することを示した。これにより、このような一致が稀ではないことが示された。
• 標準距離から動的により定義された超距離$\rho$への恒等写像が双リプシッツであることを証明し、$\rho$-ハウスドルフ次元による次元比較が可能になった。
• 非カーペットで、不変収縮方向を持たない場合に対しても、Bedford-McMullenカーペットに関する既知の結果を一般化し、次元一致のメカニズムを拡張した。