[論文レビュー] Plurisubharmonic envelopes and supersolutions

Vincent Guedj, Chinh H. Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Bermanが着想を得た拡張された近似法を用いて、複素Monge-Ampère方程式の粘性上位解の擬シュレーディンガー包は、複素ポテンシャル上位解であることを確立する。主な貢献は、有限エネルギー下位解の存在を仮定した下で、上位解の包によって複素Monge-Ampère方程式の解の存在を示す新しい存在定理であり、特異多様体上のKähler-Einstein計量への応用を含む。

ABSTRACT

We make a systematic study of (quasi-)plurisubharmonic envelopes on compact K\\"ahler manifolds, as well as on domains of $\\mathbb{C}^n$, by using and extending an approximation process due to Berman [Ber13]. We show that the quasi-psh envelope of a viscosity super-solution is a pluripotential super-solution of a given complex Monge-Amp\\`ere equation. We use these ideas to solve complex Monge-Amp\\`ere equations by taking lower envelopes of super-solutions.

研究の動機と目的

• 複素Monge-Ampère方程式の粘性上位解と複素ポテンシャル上位解の関係を明確化すること。
• Bermanの近似法を、滑らかでない関数、特に有界ボレル可測関数へと拡張すること。
• 粘性上位解のpsh包が複素ポテンシャル上位解であることを確立すること。
• 有限エネルギー下位解が存在する場合に、上位解の包による複素Monge-Ampère方程式の解の存在を証明すること。
• 得られた結果を用いて、負の第一チエーン類と半対数特異点をもつ多様体上のKähler-Einstein計量を構成すること。

提案手法

• 指数的重み付き測度を伴う複素Monge-Ampère方程式を解くことにより、Bermanの近似スキームを有界ボレル可測関数へと拡張する。
• $(\theta, \nu)$-包 $P_{\theta,\nu}(v)$ を、$v$ に $\nu$-ほとんど everywhere で上から有界なすべての $\theta$-psh 関数の上界の上部正則化として定義する。
• 近似解 $\varphi_j$ の容量収束を用いて、包 $P_{\theta,\nu}(v)$ への収束を確立し、定理Bを示す。
• 粘性比較原理と近似論法を用いて、粘性上位解の包が複素ポテンシャル上位解であることを示す（定理A）。
• 有限エネルギークラス $\mathcal{E}(X,\omega)$ 内のすべての上位解の包として解 $\varphi$ を構成し、それがMonge-Ampère方程式を満たすことを証明する（定理C）。
• 一般化された容量の定量的比較性と、有限エネルギー汎関数 $I_p$ に対する準三角不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性上位解 $v$ の擬シュレーディンガー包 $P(v)$ は、同じ複素Monge-Ampère方程式の複素ポテンシャル上位解であるか？
• RQ2 Bermanの近似法を滑らかでない有界ボレル可測関数へと拡張できるか？
• RQ3 有限エネルギー下位解の存在が、包構成法による複素Monge-Ampère方程式の解の存在を示唆するか？
• RQ4 粘性上位解は必ず擬連続的であるか、あるいは病理的な不連続性を示す可能性があるか？
• RQ5 包法を用いて、負の標準束をもつ特異多様体上のKähler-Einstein計量の存在を再証明できるか？

主な発見

• 粘性上位解 $v$ の擬シュレーディンガー包 $P(v)$ は、同じ複素Monge-Ampère方程式の複素ポテンシャル上位解である。
• $(\omega + dd^c \varphi_j)^n = e^{j(\varphi_j - v)}\mu$ を満たす列 $\varphi_j$ は、$v$ が有界かつボレル可測であっても、容量収束により $(\omega,\mu)$-包 $P_{\omega,\mu}(v)$ に収束する。
• 包 $\varphi = P(\inf\{\psi \in \mathcal{E}(X,\omega) \mid (\omega + dd^c \psi)^n \leq e^{\psi}\mu\})$ は、有限エネルギー下位解が存在する場合に、$(\omega + dd^c \varphi)^n = e^{\varphi}\mu$ の唯一の解である。
• 有限エネルギー汎関数 $I_p$ はすべての $p > 0$ に対して準三角不等式を満たし、[BBEGZ11]の結果を拡張する。
• 一般化された容量は定量的に比較可能であり、[DNL15]の結果を一般化する。
• ${\mathbb{C}}^2$ 上の有界で擬連続的でない粘性上位解 $u$ の例は、このような関数が局所的にも擬連続的でないことがあることを示している。