[論文レビュー] Poincaré families of G-bundles on a curve

Indranil Biswas, Norbert Hoffmann|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、曲線上の安定G bundleのモジュライ空間の開部分集合上におけるPoincaré族（普遍G bundle）の存在に必要な十分条件を確立し、再帰的群、すべての位相型、任意の特徴値に対して、先行研究を一般化している。主な結果は、Brauer群における障害類を同定することであり、その位数はGの根系から明示的に計算可能であり、このような族の存在が、この類が根系の不変量を割り切る位数の torsion であることに同値であることを示している。

ABSTRACT

Let G be a reductive group over an algebraically closed field k. Consider the moduli space of stable principal G-bundles on a smooth projective curve C over k. We give necessary and sufficient conditions for the existence of Poincaré bundles over open subsets of this moduli space, and compute the orders of the corresponding obstruction classes. This generalizes the previous results of Newstead, Ramanan and Balaji-Biswas-Nagaraj-Newstead to all reductive groups, to all topological types of bundles, and also to all characteristics.

研究の動機と目的

• Poincaré族の存在条件を、位相的に自明でない場合にまで一般化し、すべての再帰的群に適用すること。
• Newstead, Ramanan, および Balaji-Biswas-Nagaraj-Newstead の先行結果を、すべての位相型およびすべての特徴値にまで拡張すること。
• モジュライ空間の開部分集合上でのPoincaré族の存在を決定するBrauer群における障害類の位数を計算すること。
• 障害がGの根系に符号化されており、任意の特徴値においても適用可能な一様な基準を提供すること。

提案手法

• 著者らは主G bundleのモジュライスタックを分析し、定期的安定領域が粗いモジュライスキーム上にgerbeであることを示し、このgerbeのBrauer類が普遍bundleの上への持ち上げの障害であることを特定する。
• 彼らはモジュライスタックのPicard群とGの中心Zに付随する重み写像を用い、線分束をZの特徴に結びつけることで、障害類の計算を可能にする。
• 証明は、Picard群への制限写像が全射であるという事実に依拠しており、これにより粗いモジュライ空間のレベルに還元可能である。
• 著者らは、中心の特徴への評価写像の余核を分析することにより、障害類の位数を計算し、Hom(Z, Gm)を有限生成アーベル群としての構造を用いる。
• 正の特徴値における定期的安定領域の非空性は、根系データと群論的構成を用いて証明される。
• 鍵となる技術的道具は、補題7.4であり、これは、所定の重みを持つ線分束の存在が、コホモロジーにおける障害類の消失と関連することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線上の安定G bundleのモジュライ空間の開部分集合上に、Poincaré族が存在する条件は何か？
• RQ2 Poincaré族の存在を妨げるBrauer群における障害類の正確な位数は何か？
• RQ3 障害はGの根系にどのように依存し、すべての特徴値において一様に計算可能か？
• RQ4 正の特徴値における定期的安定領域は非空か？ これは普遍bundleの存在にどのように影響するか？
• RQ5 普遍bundleの上への持ち上げの障害は、Gの中心およびコキャラクタ格子を用いて特徴付け可能か？

主な発見

• Poincaré族が定期的安定領域の開部分集合U上に存在するための必要十分条件は、障害類ψ_G^dがH^2(𝔐_G^{d,rs}, Z)のエタールコホモロジー群において、nを満たす最小の正の整数nに対してn·ψ_G^d = 0であるような、位数がnを割り切るtorsionであることである。
• 障害類の位数はGの根系によって決定され、その根系から導かれる特定の不変量の最小公倍数として明示的に計算可能である。
• 完全な定期的安定領域に対しては、Poincaré族が存在するための必要十分条件は、H^2(𝔐_G^{d,rs}, Z)において障害類ψ_G^dが消えることである。これは、評価写像ev_G^dの余核が障害の位数で消えるときに限り成立する。
• 障害類が消えるための必要十分条件は、Pic(𝔐_G^{d,rs})からHom(Z, Gm)への重み写像wt_G^dの余核が、障害の位数で消えることである。これにより、Poincaré族の存在がPicard群とGの中心の構造に結びつく。
• 特にGの中心が自明な場合、障害類は消え、Poincaré族は完全な定期的安定領域全体に存在する。これは、半単純群に対する先行結果を一般化する。
• 結果はすべての特徴値、特に正の特徴値に対しても成り立ち、第5節では根系データと群論的議論により、定期的安定領域の非空性が確立されている。