[論文レビュー] Poincaré type inequalities on the discrete cube and in the CAR algebra

L. Ben Efraim, F. Lust-Piquard|ArXiv.org|Feb 8, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、リーマン変換技術および非可換類似物を用いて、離散的立方体 \{-1,1\}^n および CAR代数上での次元に依存しない L^p ポアンカレ不等式を確立する。L^p ノルム |\nabla f| が f - \mathbb{E}f 及びその一般化（数演算子 N を通じて）の L^p ノルムを制御することを示し、測度の集中および \alpha > 1/2 の \Delta^\alpha f に関する逆不等式（古典的および非可換設定の両方で）への応用を含む。

ABSTRACT

We prove Lp Poincare inequalities for functions on the discrete cube and their discrete gradient. We thus recover an exponential inequality and the concentration phenomenon for the uniform probability on the cube first obtained by Bobkov and Gotze. Inequalities involving the discrete gradient and powers of the discrete Laplacian are also considered, for the Lp norm or more general ones. Similar results hold true, replacing functions on the cube by elements of the CAR algebra and considering the annihilation operators and the number operator.

研究の動機と目的

• 離散的立方体 \{-1,1\}^n 上の関数に対して、最適な定数を伴う次元に依存しない L^p ポアンカレ不等式を確立すること。
• p-凸性および q-凹性条件を用いて、L^p および対称関数空間を含む一般化された関数空間 E へのこれらの不等式の拡張。
• シュタイン・ノルム C_p およびフェルミオン作用素を用いた非可換類似物を CAR代数で開発すること。
• \alpha > 1/2 の \Delta^\alpha f を含む逆不等式を証明し、古典的および非可換ポアンカレ型境界を一般化すること。
• GNS表現および作用素の独立コピーを用いた統一的アプローチを確立し、ガウス的道具に代えてベルヌーイおよびフェルミオン変数を用いること。

提案手法

• 離散的勾配 |\nabla f| および数演算子 N = \Delta/4 を用いた L^p(\Omega_n) 上のリーマン変換の使用。
• L^\infty(\Omega_n) の GNS表現における座標行列 (Q_1, ..., Q_n) の独立コピー (P_1, ..., P_n) の導入。
• \cos^N \theta(f) を介して f とそのスペクトル射影を関連付ける余弦変換 e^{\theta \mathcal{D}} の適用により、ノルム推定が可能になる。
• トレースを保存する自己同型 T \mapsto \mathcal{R}_{\theta,\mathcal{J}}^* T \mathcal{R}_{\theta,\mathcal{J}} を用いて、座標の部分集合上のノルムを制御すること。
• UMD 空間の性質および双対性を用いて、K_E および K_{E^*} 定数を活用し、一般の対称関数空間 E へ結果を拡張すること。
• 非可換 L^p 理論を用いて、ガウス的設定からのマウレイ・ピジエル型の議論を、離散的およびフェルミオン的状況へ適応すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的立方体 \{-1,1\}^n 上の関数に対して、明示的かつ一様な定数を伴う次元に依存しない L^p ポアンカレ不等式を確立できるか？
• RQ2 0 < \alpha < 1/2 および \alpha > 1/2 の場合に、離散的勾配 |\nabla f| およびスペクトル射影 \Delta^\alpha f の L^p ノルムはどのように関係するか？
• RQ3 p-凸性および q-凹性条件を用いて、古典的ポアンカレ不等式を一般の対称関数空間 E へ拡張できるか？
• RQ4 CAR代数におけるポアンカレ不等式の非可換類似物は何か？また、フェルミオン系における測度の集中とどのように関係するか？
• RQ5 \alpha > 1/2 の場合に、古典的および非可換設定の両方で |\nabla f| と \Delta^\alpha f 間の逆不等式を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、任意の対称関数空間 E に対して \|f - \mathbb{E}f\|_E \leq \frac{\pi}{4} K_E \||\nabla f|\|_E が成り立つことを証明し、K_E は p-凸性または q-凹性定数に依存する。
• L^p 空間では、すべての 1 \leq p < \infty に対して、\|f\|_p \leq C\sqrt{p} \||\nabla_{\mathcal{J}} f|\|_p + \|\mathcal{P}_{\bar{\mathcal{J}}} f\|_p という不等式が、普遍定数 C を用いて成り立つ。
• 偶数の整数 p に対して、次元に依存しない定数 C_p を用いて \||\nabla f|\|_p \leq C_p \|f - \mathbb{E}f\|_p が成り立つ。これはボブコフ＝ゲーツェの集中を回復する。
• \alpha > 1/2 の場合に、逆不等式が確立される： \||\nabla f|\|_E \leq K_{\alpha,E} \|\Delta^\alpha f\|_E であり、高階ラプラシアンが勾配を制御することを示す。
• CAR代数では、次元に依存しない定数を用いて、\|T - \mathbb{E}T\|_{C_p} \leq C_p \||\nabla_s T|\|_{C_p} が成り立つ。これは非可換設定における集中を示唆する。
• 任意の部分集合 \mathcal{J} \subset \{1,\dots,n\} に対して、\|\mathcal{V}_{\mathcal{J}} f\|_E \leq \frac{\pi}{4} K_E \||\nabla_{\mathcal{J}} f|\|_E という精密な不等式が成り立ち、\mathcal{J} 上のフーリエ係数が非ゼロである関数の局所的制御が可能になる。