[論文レビュー] Poincare Duality at the Chain Level, and a BV Structure on the Homology of the Free Loops Space of a Simply Connected Poincare Duality Space

Thomas Tradler, Mahmoud Zeinalian|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2003

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、次元 d のコンパクトで向き付け可能かつ三角形分割されたPoincaré双対性空間 X の単体的チェインに対して、A∞ Poincaré双対性構造を確立する。この構造を用いて、シフトされたHochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X)[d] 上にBV代数を構成する。単連結な X に対しては、これは自由ループ空間 LX のホモロジー H•(LX)[d] に一致し、H•(LX)[d] にBV構造をもたらす。

ABSTRACT

We show that the simplicial chains, C•X, on a compact, triangulated, and oriented Poincaré duality space, X, of dimension d, can be endowed with an A ∞ Poincaré duality structure. Using this, we show that the shifted Hochschild cohomology, HH • (C • X, C•X)[d], of the cochain algebra, C • X, with values in the chains, C•X, has a BV structure. This is achieved by using the A ∞ Poincaré duality structure to obtain a particular vector space isomorphism between HH • (C • X, C • X), which carries a multiplication, ∪ , and HH • (C • X, C•X), which carries a ∆ operator. It is argued in [T2] that due to the particular properties of this isomorphism, the transport of the multiplication ∪ from the domain onto the range yields a BV structure on the shifted Hochschild cohomology HH • (C • X, C•X)[d]. For a simply connected space X, the Hochschild cohomology, HH • (C • X, C•X), of the cochain algebra with values in the chains, is identified [J] with the homology, H•(LX), of the free loop space. Thus, for a simply connected Poincaré duality space, X, the shifted homology H•(LX)[d] admits a BV structure. For a manifold M, Chas and

研究の動機と目的

• コンパクトで向き付け可能かつ三角形分割されたPoincaré双対性空間 X の単体的チェイン C•X に A∞ Poincaré双対性構造を構成すること。
• C•X に A∞ 構造が備わっている場合、シフトされたHochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X)[d] がBV構造を有することを示すこと。
• X が単連結である場合、Hochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X) が自由ループ空間 LX のホモロジー H•(LX) に同型であることの特定。
• C•X に備わった A∞ Poincaré双対性構造から、H•(LX)[d] がBV構造を引き継ぐことの確立。
• BV代数的演算と整合するチェインレベルでのPoincaré双対性の実現を提供すること。

提案手法

• コンパクトで向き付け可能かつ三角形分割されたPoincaré双対性空間 X の単体的チェイン C•X に A∞ Poincaré双対性構造を導入すること。
• A∞ 構造を用いて、HH•(C•X, C•X) と HH•(C•X, C•X) 間の特定のベクトル空間同型を定義し、代数的演算を保存すること。
• この同型を介して、ドメインからコドメインへカップ積 ∪ を輸送し、シフトされたHochschildコホモロジーに乗法を誘導すること。
• この同型の性質を活用して、シフトされたHochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X)[d] にBV作用素 ∆ を導入すること。
• 単連結な X に対して HH•(C•X, C•X) と H•(LX) の既知の同型を用いて、BV構造を H•(LX)[d] に移すこと。
• A∞ Poincaré双対性構造を用いて、チェインレベルでの双対性とBV代数的演算の整合性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaré双対性空間の単体的チェインに A∞ Poincaré双対性構造を備えられるか？
• RQ2 C•X に A∞ Poincaré双対性構造が備わっている場合、シフトされたHochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X)[d] はBV構造を有するか？
• RQ3 A∞ Poincaré双対性構造は、BV作用素 ∆ をシフトされたHochschildコホモロジーへ輸送するためにどのように機能するか？
• RQ4 単連結な X に対して、Hochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X) と自由ループ空間 LX のホモロジー H•(LX) の関係は何か？
• RQ5 シフトされたHochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X)[d] に備わったBV構造は、単連結なPoincaré双対性空間に対して H•(LX)[d] に降下するか？

主な発見

• 次元 d のコンパクトで向き付け可能かつ三角形分割されたPoincaré双対性空間 X の単体的チェイン C•X は、A∞ Poincaré双対性構造を有する。
• シフトされたHochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X)[d] は、カップ積と ∆-作用素を輸送する同型を介して構成されたBV構造を有する。
• 単連結な空間 X に対して、Hochschildコホモロジー HH•(C•X, C•X) は自由ループ空間 LX のホモロジー H•(LX) に同型である。
• その結果、シフトされたホモロジー H•(LX)[d] は C•X に備わった A∞ Poincaré双対性構造からBV構造を引き継ぐ。
• H•(LX)[d] に備わるBV構造は、チェインレベルでの A∞ Poincaré双対性から生じ、ループ空間ホモロジー上のBV代数的構造の幾何的実現を提供する。
• BV構造の構成は、Hochschildコホモロジー群間の同型の特定の性質に依存しており、∪積と ∆ 演算子の整合性を保証する。