[論文レビュー] Poincar\'e duality for loop spaces

Kai Cieliebak, Nancy Hingston+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 61被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、余接 bundle における Rabinowitz Floer homology と cohomology 間の Poincaré duality 同型を確立し、両者に階数付き Frobenius 代数構造を備える。Tate ベクトル空間と symplectic topology を用いて、長年の未解決問題を解消し、閉じた測地線に関する双対的結果（臨界レベル、Bott 索引反復、レベル・パワー）を統一的に扱う。同時に、Rabinowitz Floer cohomology 内の標準的二次的積を用いて、Sullivan のループ積とコプロダクトの間の予想された関係を証明する。

ABSTRACT

We show that Rabinowitz Floer homology and cohomology carry the structure of a graded Frobenius algebra for both closed and open strings. We prove a Poincar\'e duality theorem between homology and cohomology that preserves this structure. This lifts to a duality theorem between graded open-closed TQFTs. We use in a systematic way the formalism of Tate vector spaces. Specializing to the case of cotangent bundles, we define Rabinowitz loop homology and cohomology and explain from a unified perspective pairs of dual results that have been observed over the years in the context of the search for closed geodesics. These concern critical levels, relations to the based loop space, manifolds all of whose geodesics are closed, Bott index iteration, and level-potency. Moreover, the graded Frobenius algebra structure gives meaning and proof to a relation conjectured by Sullivan between the loop product and coproduct.

研究の動機と目的

• ループ積（すべてのループ上）とコプロダクト（定数ループに関して）の定義における非対称性に関するストリングトポロジーにおける長年の未解決問題を解消すること。
• Rabinowitz Floer homology と cohomology 間の標準的 Poincaré duality 同型を確立し、代数的構造を保存すること。
• 閉じた測地線理論における双対的結果（臨界レベル、Bott 索引反復、レベル・パワー）を、1 つの symplectic-topological フレームワーク内で統一すること。
• Rabinowitz Floer cohomology 内の二次的ペア・オブ・パンツ積を用いて、Sullivan のループ積とコプロダクトの間の予想された関係を証明すること。
• Rabinowitz Floer homology と cohomology が階数付き Frobenius 代数構造を備えていることを示し、古典的 Poincaré duality を一般化すること。

提案手法

• Conley-Zehnder 索引を用いた Z-次数付きで、余接 bundle に対する symplectic 不変量として Rabinowitz Floer homology と cohomology を導入する。
• Rabinowitz Floer cohomology 上に次数 n−1 の二次的ペア・オブ・パンツ積 λ_τ を定義し、これはループ積 µ に双対的である。
• 無限次元のホモロジーとコホモロジーを取り扱うために Tate ベクトル空間を用い、有限でない状況でも双対性を可能にする。
• ユニタリ、可換、結合的代数構造を保存する、標準的 Poincaré duality 同型 PD: (RFH∗(BV), µ) ≅ (RFH1−∗(BV), λ_τ) を構成する。
• シンプレクティックホモロジー、Rabinowitz Floer homology、およびそのシフトを関連付ける長完全系列を用いて、次数間の代数的構造を関連付ける。
• Bott-Long 索引公式と S1-等変ホモロジーにおける Gysin 列を用いて、臨界レベルと退化度を代数的構造に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ積（すべてのループ上）とコプロダクト（定数ループに関して）の定義における非対称性は、統一的な代数的構造によって解消可能か？
• RQ2 コホモロジー積 ⊛ は、ループ積 µ から導かれる二次的積であるとみなせるか？その明確な定式化は可能か？
• RQ3 Sullivan の予想された関係 λµ = (1⊗µ)(λ⊗1) + (µ⊗1)(1⊗λ) は、Rabinowitz Floer フレームワーク内で修正された形で成立するか？
• RQ4 閉じた測地線理論における双対的結果（臨界レベルの不等式、Bott 索引反復）は、同一の基本的双対性定理から導かれるか？
• RQ5 Rabinowitz Floer コホモロジーは、ループ積とコプロダクトを統一する階数付き Frobenius 代数構造を備えているか？

主な発見

• Rabinowitz Floer コホモロジーは、ループ積 µ に双対的な次数 n−1 の標準的二次的ペア・オブ・パンツ積 λ_τ を備えている。
• ユニタリ、可換、結合的代数構造を保存する、標準的 Poincaré duality 同型 PD: (RFH∗(BV), µ) ≅ (RFH1−∗(BV), λ_τ) が存在する。
• 係数体を用いた次数シフトされた Rabinowitz Floer ホモロジーとコホモロジーは、階数付き Frobenius 代数をなしており、PD は双対化写像 ⃗p の負の形で与えられる。
• Poincaré duality 同型は、階数付きオープン・クローズド TQFT 間の双対性へと持ち上がり、オープンおよびクローズド・ストリングのセクター間の代数的構造を統一する。
• ループ積とコプロダクトは、Frobenius 代数構造から自然に生じる修正された Sullivan の関係を満たす。
• 理論は、閉じた測地線理論における双対的結果を統一する：臨界レベルの不等式、Bott 索引反復、レベル・パワーはすべて、同一の基本的双対性の結果である。