[論文レビュー] Point measurements for a Neumann-to-Dirichlet map and the Calder\'on problem in the plane

Nuutti Hyvönen, Petteri Piiroinen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界付近での導電率の均一性を仮定する下で、2次元における等方的・異方的L∞導電率について、境界上での1点における相対的ポテンシャル差の点測定——具体的には、同一境界点に於ける二重スイープデータの微分——が、ノイマンからディリクレへの写像を一意に特定することを示している。主な貢献は、境界上1点における局所的で分布的電流励起のみを用いて、カルデロン問題に対する新しい局所的一意性結果を確立したことである。

ABSTRACT

This work considers properties of the Neumann-to-Dirichlet map for the conductivity equation under the assumption that the conductivity is identically one close to the boundary of the examined smooth, bounded and simply connected domain. It is demonstrated that the so-called bisweep data, i.e., the (relative) potential differences between two boundary points when delta currents of opposite signs are applied at the very same points, uniquely determine the whole Neumann-to-Dirichlet map. In two dimensions, the bisweep data extend as a holomorphic function of two variables to some (interior) neighborhood of the product boundary. It follows that the whole Neumann-to-Dirichlet map is characterized by the derivatives of the bisweep data at an arbitrary point. On the diagonal of the product boundary, these derivatives can be given with the help of the derivatives of the (relative) boundary potentials at some fixed point caused by the distributional current densities supported at the same point, and thus such point measurements uniquely define the Neumann-to-Dirichlet map. This observation also leads to a new, truly local uniqueness result for the so-called Calder\'on inverse conductivity problem.

研究の動機と目的

• 最小限の境界測定値を用いて、2次元におけるカルデオン逆導電率問題の新しい局所的一意性結果を確立すること。
• 点測定値——具体的には、境界上1点における二重スイープデータの微分——が、ノイマンからディリクレへの写像を一意に特徴づけるかどうかを調査すること。
• 二重スイープデータの複素平面における正則関数への解析接続を検討し、局所的データからの再構成を可能にする。
• 分布的電流密度が境界上1点にのみ台を持つ場合に、ノイマンからディリクレへの写像がその応答によって一意に特定されることを示すこと。
• 境界付近での導電率の均一性仮定の下で、部分的データ結果の適用範囲をより滑らかでない導電率（L∞）へと拡張すること。

提案手法

• δ電流が同じ点に異符号で印加された際の2点間の相対的ポテンシャル差として「二重スイープデータ」を導入する。
• 一般の単純接続領域Dから単位円板へのコンフォール写像を用いて問題を変換し、複素解析的手法を適用可能にする。
• 解析接続を適用して、二重スイープデータがC²における∂D × ∂Dの近傍で正則関数として拡張されることを示す。
• すべての二重スイープデータが、任意の固定点(z₁, z₂) ∈ ∂D × ∂Dにおける微分によって完全に決定されることを導出する。
• 対角線(z, z)に沿った微分を分析し、それらがノイマンからディリクレ作用素と境界上1点に台を持つ分布的電流を含む内積に対応することを示す。
• 極化恒等式を用いて、f, gが境界上1点zに台を持つ分布の空間に属する場合の⟨f, (Λσ − Λ₁)g⟩形式の点測定値から、ノイマンからディリクレ写像全体を回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界上1点における相対的ポテンシャル差の点測定値によって、ノイマンからディリクレへの写像を一意に再構成できるか？
• RQ2 2変数の複素関数としての二重スイープデータの正則拡張が、境界上1点における局所的微分値から完全な再構成を可能にするか？
• RQ3 部分的データが得られる場合、特に局所的境界測定値しか得られない場合に、カルデオン問題はどの程度解けるか？
• RQ4 導電率が境界付近で均一であるという仮定が、逆問題の一意性および安定性にどのように影響するか？
• RQ5 滑らかな導電率の一意性を保証するのと同じ仮定のもとで、L∞導電率が点測定値によって一意に特定可能か？

主な発見

• σ ≡ 1 が∂D付近で成り立つ限り、任意の対称的異方的導電率σ ∈ L∞(D, R²×²) に対してσ ≥ cI > 0 が成り立つとき、二重スイープデータはノイマンからディリクレへの写像を一意に決定する。
• 2次元において、二重スイープデータはC²における∂D × ∂Dの近傍で2変数の正則関数として拡張可能である。
• すべての二重スイープデータは、任意の固定点(z₁, z₂) ∈ ∂D × ∂Dにおける微分値によって完全に決定される。
• 二重スイープデータの対角線(z, z)に沿った微分は、ノイマンからディリクレ作用素と境界上1点に台を持つ分布的電流を含む内積に対応する。
• ノイマンからディリクレへの写像は、境界上1点z ∈ ∂Dにおける分布的電流密度が印加された際の相対境界ポテンシャルの微分値によって一意に特定される。
• 境界付近での均一性仮定の下で、L∞導電率が境界上1点における点測定値によって一意に特定可能である、カルデオン問題に対する新しい局所的一意性結果が確立された。