[論文レビュー] Point processes of non stationary sequences generated by sequential and random dynamical systems

Ana Cristina Moreira Freitas, Jorge Milhazes Freitas+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非定常な力学系、特に逐次的および確率的力学系における希少事象のマーク付き点過程の収束に関する十分条件を確立する。非定常状態において、Area Over Threshold (AOT) および Peak Over Threshold (POT) マーク付き点過程が明示的な多重度分布を伴う複合ポアソン過程に収束することを証明しており、条件にはクエンチド相関の崩壊および極値統計の適切な正規化が含まれる。

ABSTRACT

We give general sufficient conditions to prove the convergence of marked point processes that keep record of the occurrence of rare events and of their impact for non-autonomous dynamical systems. We apply the results to sequential dynamical systems associated to uniformly expanding maps and to random dynamical systems given by fibred Lasota Yorke maps.

研究の動機と目的

• 定常性が成立しない非自己同型力学系への極値理論の拡張を目的とする。
• 逐次的および確率的力学系における希少事象とその影響を追跡するマーク付き点過程の収束を一般化する枠組みを構築すること。
• 非定常設定における複合ポアソン過程の極限多重度分布の明示的公式を導出すること。
• 特に一様に拡張する写像および繊維化されたLasota-Yorke写像を含む具体的な系に理論を適用し、条件の検証と極限法則の計算を行うこと。

提案手法

• クエンチド相関の崩壊を用いて、非定常・非自己同型系への希少事象のマーク付き点過程（MREPP）理論を一般化する。
• 系の不変測度および観測関数に関する条件を導入し、複合ポアソン過程への収束を保証する。
• 一様に拡張する写像を用いた逐次的力学系にフレームワークを適用し、相関の崩壊および測度の上限を検証する。
• リーマン微分定理を用いて、尾確率の極限比を計算し、多重度分布の導出に不可欠な要素を得る。
• 対象となる観測関数の3種類（タイプ1：対数型、タイプ2：べき乗則型、タイプ3：有界型）に基づき、多重度分布 π(x) の明示的表現を導出する。
• 指数的混合性と有限周期性の仮定の下で、正規化列 an に依存する AOT および POT 近似の収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常力学系における希少事象のマーク付き点過程が収束する条件は何か？
• RQ2 系が定常性を欠く場合、極値事象の極限分布はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 非自己同型系における極限複合ポアソン過程の多重度分布の明示的形は何か？
• RQ4 対数型、べき乗則型、有界型の異なる観測関数は、AOTおよびPOT過程の極限挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 この理論的枠組みは、逐次写像や繊維化Lasota-Yorke写像のような具体的な系に適用可能であり、正確な極限法則を導出できるか？

主な発見

• 与えられた条件下で、AOTおよびPOTマーク付き点過程は分布収束して、強度 θ = 1 の複合ポアソン過程に収束する。
• タイプ1の観測関数（g = −log x）に対して、多重度分布は π(x) = 1 − e^−x であり、正規化列は an = h(un)^−1 である。
• タイプ2の観測関数（べき乗則型）に対しては、π(x) = 1 − (1 + x)^−β であり、正規化列は an = un^−1 である。
• タイプ3の観測関数（有界型）に対しては、π(x) = 1 − (1 − x)^γ であり、正規化列は an = (D − un)^−1 である。
• 収束はクエンチド相関の崩壊および測度 μσ^iω(Un) がLebesgue測度 m(Un) で評価可能なことによって確立される。
• 証明では、有限個の周期的ブロックを持つ典型的な ω に対して、点 z の小さな近傍への帰還時間が一様に ε > 0 以上に離隔していることが示され、誤差項の一様な上限が得られる。