[論文レビュー] Pointwise Adaptive Estimation of the MarginalDensity of a Weakly Dependent Process

Karine Bertin, Nicolas Klutchnikoff|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、弱い依存性を持つプロセスに対して、Goldenshluger-Lepski 法を用いたデータ駆動型バンド幅選択を伴うデータ駆動型カーネル密度推定器を提案し、ホルダークラス上での適応的点별推定を達成する。オラクル不等式を確立し、i.i.d.、$\alpha$-ミキシング、$\lambda$-依存、および強いミキシング過程に対して最小上限の適応性を証明する。単一で明示的に実装可能な手続きを用いる。

ABSTRACT

This paper is devoted to the estimation of the common marginal density function of weakly dependent processes. The accuracy of estimation is measured using pointwise risks. We propose a datadriven procedure using kernel rules. The bandwidth is selected using the approach of Goldenshluger and Lepski and we prove that the resulting estimator satisfies an oracle type inequality. The procedure is also proved to be adaptive (in a minimax framework) over a scale of H\\"older balls for several types of dependence: stong mixing processes, $\\lambda$-dependent processes or i.i.d. sequences can be considered using a single procedure of estimation. Some simulations illustrate the performance of the proposed method.

研究の動機と目的

• 弱い依存性の下で、実用的かつデータ駆動型のバンド幅選択法を、カーネル密度推定に適用する。
• 複数の依存構造において、$s>0$ の滑らかさを持つホルダークラス上での適応的点別推定を達成する。
• 単一の推定手続きが、i.i.d.、$\alpha$-ミキシング、$\lambda$-依存、および強いミキシング過程に適応できることを証明する。
• 有限なカーネル推定子族における最良の推定子に近い性能を保証する、オラクル型不等式を確立する。
• 未知の定数や調整閾値を含まない、完全に明示的かつ実装可能な手続きを提供し、実際の応用を可能にする。

提案手法

• Goldenshluger-Lepski 法を用いたデータ駆動型バンド幅選択を伴うカーネル密度推定を用いる。
• 点別リスク $R_q(\tilde{f}_n, f)$ に対するオラクル不等式を適用し、$q>0$ の場合に近似的最適な性能を保証する。
• バンド幅 $h$ でインデックス付けられた有限なカーネル推定子族を用い、バイアスとバイアスのバランスに基づいて選択を行う。
• モーメントおよび依存構造に関する仮定に依存する：$x_0$ の近傍で密度が有界であり、$\rho_r$-ミキシングまたは $\lambda$-依存による弱い依存性。
• Doukhan と Neumann (2007) が導出した、ベルヌーイ型の集中不等式を用いて、経験過程項を制御する。
• 依存係数 $\rho_r$ の減衰とカーネルの滑らかさを用いて、分散および共分散項の一様なバインドを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一のデータ駆動型バンド幅選択手続きが、複数の弱い依存構造にわたって適応的点別密度推定を達成できるか？
• RQ2 Goldenshluger-Lepski 法が、弱い依存性の下で点別リスクに対してオラクル不等式を導くことができるか？
• RQ3 得られた推定子が、$\alpha$-ミキシング、$\lambda$-依存、または強いミキシングの下で、ホルダー球のスケール上で最小上限の適応性を示すか？
• RQ4 手続きが完全に明示的かつ未知の定数や調整閾値を含まずに実装可能か？
• RQ5 有限サンプルにおける、選択された推定子の性能は、古典的手法と比べてどうか？

主な発見

• 提案された推定子は、オラクル型不等式を満たし、推定子族内での最良の推定子に近い点別リスクを保証する。
• さまざまな弱い依存性の仮定の下で、ホルダークラスの滑らかさ $s>0$ に対する最小上限の適応的レート $n^{-s/(2s+1)}$ を達成する。
• i.i.d.、$\alpha$-ミキシング、$\lambda$-依存、および強いミキシング過程において、単一の統一された手続きを用いてホルダー球のスケール上で最小上限の適応性を達成する。
• バンド幅選択ルールは完全に明示的であり、未知の乗法的定数を含まず、実際の応用に直接実装可能である。
• シミュレーションにより、古典的手法のカーネル推定子と比較して、本手法の有限サンプル性能が優れていることが確認される。
• 理論的分析は、従来、このような結果が得られていなかった依存設定における適応的点別推定を拡張し、新たな知見を提供する。