[論文レビュー] Pointwise multiple averages for systems with two commuting transformations

Sebastián Donoso, Wenbo Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの可換な変換を持つ系について、位相的モデルと構造的分解を用いて、点ごとの多重エルゴード平均の収束を確立する。可換な変換 S と T を持つエルゴード系に対して、有界関数に対して平均 $rac{1}{N^3} sum_{i,j,k=0}^{N-1} f_0(S^jT^k x)f_1(S^{i+j}T^k x)f_2(S^jT^{i+k}x)$ がμ-ほとんど everywhere で収束することを証明している。また、退化系の場合には、より単純な平均 $rac{1}{N} sum_{i=0}^{N-1} f_1(S^i x)f_2(T^i x)$ も同様にほとんど everywhere で収束する。

ABSTRACT

We show that if $(X,\mathcal{X},μ,S,T)$ is an ergodic measure preserving system with commuting transformations $S$ and $T$, then the average \[\frac{1}{N^3} \sum_{i,j,k=0}^{N-1} f_0(S^j T^k x) f_1 (S^{i+j} T^k x) f_2 (S^j T^{i+k} x)\] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o \infty$ for $f_0,f_1, f_2\in L^\infty(μ)$. We also show that if $(X,\mathcal{X},μ,S,T)$ is a measurable distal system, the average \[ \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} f_1 (S^i x) f_2 (T^i x) \] converges for $μ$-a.e. $x\in X$ as $N o \infty$ for $f_1,f_2\in L^{\infty}(μ)$.

研究の動機と目的

• 2つの可換な測度保存変換を持つ系における点ごとの多重エルゴード平均の収束を確立すること。
• 従来、単一変換の設定にのみ適用されてきた位相的モデルの使用を、2つの可換な変換を持つ系へと拡張すること。
• 退化系の場合に収束結果を証明することにより、解析を簡素化する追加の構造的性質を活用すること。
• このような系の厳密エルゴードモデルの構成を可能にする、新たな位相的構造 $N_{S,T}(X)$ を開発すること。
• 特に Huang, Shao, Ye の結果を含む、以前の点ごとの収束結果を2つの可換変換の設定へ一般化すること。

提案手法

• 任意の2つの可換な変換 $S$ と $T$ を持つエルゴード系に対して、厳密エルゴード性を保証する位相的モデル $N_{S,T}(X)$ を構築すること。
• 厳密エルゴードモデルの存在を用いて、連続関数が稠密である位相的設定に点ごとの収束問題を還元すること。
• 不変 $\sigma$-代数の構造を活用し、中間因子 $\mathcal{Z}_{S,R}(X)$ と $\mathcal{Z}_{T,R}(X)$ を介した因数分解技術を適用すること。
• 順序数インデックス $\theta$ を持つ順序数列における等長拡張の系列に対して、帰納法を用いて収束性を基本ケースから伝播させること。
• 共通因子 $X_R$（$R$ に関連する）におけるBirkhoffのエルゴード定理を用いて、$S$ と $T$ の結合動的を扱うこと。
• $L^1$ 内の密度論的議論と条件付き期待値の推定を用いて近似誤差を制御し、ほとんど everywhere での収束を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの可換な変換を持つエルゴード系において、有界関数に対して平均 $\frac{1}{N^3}\nsum_{i,j,k=0}^{N-1} f_0(S^jT^k x)f_1(S^{i+j}T^k x)f_2(S^jT^{i+k}x)$ が $\mu$-ほとんど everywhere で収束するか？
• RQ2 退化系において、位相的モデルを用いて平均 $\frac{1}{N}\nsum_{i=0}^{N-1} f_1(S^i x)f_2(T^i x)$ の点ごとの収束を確立できるか？
• RQ3 位相的モデルは、複数の可換な変換とそれらの結合動的を扱うようにどのように拡張できるか？
• RQ4 このような系で点ごとの収束を保証するために必要な十分な構造的性質（例：等長拡張、マジック拡張）は何か？
• RQ5 三重平均の収束は、因数分解と順序数帰納法を用いて、より単純な平均の収束から導けるか？

主な発見

• 任意の可換な $S$ と $T$ を持つエルゴード測度保存系 $(X,\mathcal{X},\mu,S,T)$ に対して、すべての $f_0,f_1,f_2 \in L^\infty(\mu)$ に対して、三重平均 $\frac{1}{N^3}\nsum_{i,j,k=0}^{N-1} f_0(S^jT^k x)f_1(S^{i+j}T^k x)f_2(S^jT^{i+k}x)$ は $N \to \infty$ のとき $\mu$-ほとんど everywhere で収束する。
• 可換な $S$ と $T$ を持つエルゴード退化系では、すべての $f_1,f_2 \in L^\infty(\mu)$ に対して、より単純な平均 $\frac{1}{N}\nsum_{i=0}^{N-1} f_1(S^i x)f_2(T^i x)$ も $N \to \infty$ のとき $\mu$-ほとんど everywhere で収束する。
• このような系は、稠密な代数として連続関数が使える厳密エルゴード性を持つ位相的モデル $N_{S,T}(X)$ を有する。
• 証明は、三重マジック拡張の構築と、等長拡張の系列における順序数帰納法を用いて、基本因子から収束性を伝播させることに依存している。
• 退化系の収束は、$S$ と $T$ が共通因子上で同一に作用する積空間系に問題を還元することで確立され、Birkhoffのエルゴード定理の適用が可能になる。
• 主な技術的革新は、2つの可換な変換の結合動的を扱う点ごとのエルゴード理論において、制御された構造を持つ位相的モデルを用いることにある。