[論文レビュー] Strictly ergodic models and the convergence of non-conventional pointwise ergodic averages

Wen Huang, Song Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、面群および平行多面体群作用の下での軌道閉包といった主要な力学的構造を保存する厳密エルゴディックモデルの存在を確立し、非正規の多重エルゴディック平均の逐次収束に関する新しい証明を可能にする。主な貢献は、高次構造における位相的最小性および一意エルゴディック性を課したジェット＝クリーガー定理の強化版であり、これは直接的に形式 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m\in[0,N-1]}⋯\prod_{i=1}^d f_i(T^{n+(i-1)m}x)$ の平均の a.e. 収束を示す。

ABSTRACT

The well-known Jewett-Krieger's Theorem states that each ergodic system has a strictly ergodic model. Strengthening the model by requiring that it is strictly ergodic under some group actions, and building the connection of the new model with the convergence of pointwise non-conventional ergodic averages we prove that for an ergodic system $(X,\X,μ, T)$, $d\in\N$, $f_1, \ldots, f_d \in L^{\infty}(μ)$, %and any tempered F{ m $ø$}lner sequence $F_n$ of $\Z^2$, the averages \begin{equation*} \frac{1}{N^2} \sum_{(n,m)\in F_N} f_1(T^nx)f_2(T^{n+m}x)\ldots f_d(T^{n+(d-1)m}x) \end{equation*} converge $μ$ a.e. We remark that the same method can be used to show the pointwise convergence of ergodic averages along cubes which was firstly proved by Assani and then extended to a general case by Chu and Franzikinakis.

研究の動機と目的

• 任意のエルゴディック測度保存系 $(X, \mathcal{X}, \mu, T)$ に対して、面群 $\mathcal{F}^{[d]}$ による軌道閉包 $\overline{\mathcal{F}^{[d]}}(x^{[d]})$ がすべての $x \in \hat{X}$ に対して厳密エルゴディックであるような厳密エルゴディックモデルを構成することで、ジェット＝クリーガー定理を拡張すること。
• 強い最小性および一意エルゴディック性を有する位相的モデルと、非正規多重エルゴディック平均の逐次収束との間の関係を確立すること。
• 位相的モデル理論を用いて、エルゴディック理論における立方体および線形パターンに沿った平均の a.e. 収束に関する新しい証明を提供すること。

提案手法

• 任意のエルゴディック測度保存系 $(X, \mathcal{X}, \mu, T)$ に対して、すべての $x \in \hat{X}$ に対して面群 $\mathcal{F}^{[d]}$ による軌道閉包 $\overline{\mathcal{F}^{[d]}}(x^{[d]})$ が厳密エルゴディックであるように、厳密エルゴディックな位相的モデル $(\hat{X}, T)$ を構築する。
• 平行多面体群 $\mathcal{G}^{[d]}$ による動的平行多面体集合 ${\bf Q}^{[d]}(\hat{X})$ がモデルにおいて厳密エルゴディックであることを証明する。
• 群 $\langle \tau_d, \sigma_d \rangle$ による軌道閉包 $N_d(\hat{X})$ がモデルにおいて厳密エルゴディックであることを確立する。ここで $\tau_d = T \times \cdots \times T$ および $\sigma_d = T \times \cdots \times T^d$ である。
• これらの高次構造の一意エルゴディック性を用いて、測度の分解および不変因子写像を活用し、非正規平均の逐次 a.e. 収束を導出する。
• モデルを用いて、$N^2$-平均の場合の極限測度 $\lambda_{\tau,\sigma;d}$ の明示的公式を導出する。
• 動的平行多面体および面群作用の構造を活用し、収束問題を関連する軌道閉包の一意エルゴディック性に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のエルゴディック系に対して、すべての $x$ に対して面群 $\mathcal{F}^{[d]}$ による $x^{[d]}$ の軌道閉包 $\overline{\mathcal{F}^{[d]}}(x^{[d]})$ が厳密エルゴディックであるような厳密エルゴディック位相的モデルを構築できるか？
• RQ2 平行多面体群 $\mathcal{G}^{[d]}$ による動的平行多面体集合 ${\bf Q}^{[d]}(\hat{X})$ が厳密エルゴディックであるような厳密エルゴディックモデルが存在するか？
• RQ3 群 $\langle \tau_d, \sigma_d \rangle$ による軌道閉包 $N_d(\hat{X})$ が、エルゴディック系の位相的モデルにおいて厳密エルゴディックにできるか？
• RQ4 これらの高次構造の一意エルゴディック性が、非正規多重エルゴディック平均の逐次 a.e. 収束をどのように示すか？
• RQ5 平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m\in[0,N-1]}\prod_{i=1}^d f_i(T^{n+(i-1)m}x)$ の極限測度の明示的形は、モデルを用いてどのように表されるか？

主な発見

• 本稿は、任意のエルゴディック系が、すべての $x \in \hat{X}$ に対して面群作用による軌道閉包 $\overline{\mathcal{F}^{[d]}}(x^{[d]})$ が厳密エルゴディックであるような厳密エルゴディック位相的モデルを有することを証明し、ジェット＝クリーガー定理を拡張する。
• 任意のエルゴディック系が、平行多面体群 $\mathcal{G}^{[d]}$ による動的平行多面体集合 ${\bf Q}^{[d]}(\hat{X})$ が厳密エルゴディックであるような厳密エルゴディックモデルを有することを確立する。
• 群 $\langle \tau_d, \sigma_d \rangle$ による軌道閉包 $N_d(\hat{X})$ が厳密エルゴディックであるような厳密エルゴディックモデルの存在を示し、極限測度は $\lambda_{\tau,\sigma;d}$ で与えられる。
• 平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m\in[0,N-1]}\prod_{i=1}^d f_i(T^{n+(i-1)m}x)$ の逐次 a.e. 収束は、$N_d(\hat{X})$ における一意エルゴディック性を有する厳密エルゴディックモデルの結果として確立され、極限は $\int_{N_d(\hat{X})} \bigotimes f_i \, d\lambda_{\tau,\sigma;d}$ である。
• 弱く混合する系では、動的平行多面体上の唯一の測度は積測度であり、極限の式が単純化される。
• 本稿は、位相的モデルの構造およびクラインカー因子上の測度の分解を用いて、非正規平均の極限測度を計算する一般的手法を提供する。