[論文レビュー] Pointwise Stabilization of Discrete-time Stationary Matrix-valued Markovian Chains

Xiongping Dai, Yu Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2011

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、離散時間、定常的行列値マルコフ過程型ジャンプ線形システムにおいて、本質的非一様積分有界性の条件下で、点별収束と点別指数的収束が同値であることを確立している。測度論、エルゴディック理論、および状態空間分割定理を活用して、各初期状態に対してほとんど確実にゼロへの収束が成立するならば、指数的収束速度が保証されることを証明しており、記号的力学系および確率的安定性理論における重要な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We study the pointwise stabilizability of a discrete-time, time-homogeneous, and stationary Markovian jump linear system. By using measure theory, ergodic theory and a splitting theorem of state space we show in a relatively simple way that if the system is essentially product-bounded, then it is pointwise convergent if and only if it is pointwise exponentially convergent.

研究の動機と目的

• 離散時間マルコフ過程型ジャンプ線形システムにおいて、点別収束が点別指数的収束を含意する条件を特徴付けること。
• 制御理論における長年の課題である、確率的システムにおける点別収束と指数的収束の非同値性を解消すること。
• 記号的力学系とエルゴディック理論を用いた理論的枠組みを構築し、確率的スイッチング下での収束行動を分析すること。
• 線形コサイクルおよびマルコフ過程系における一様収束と非一様収束の違いを明確にすること。
• 点別収束が指数的収束を含意するための必要十分条件として、本質的非一様積分有界性を特定すること。

提案手法

• リャプノフ指数に基づく、ℝ¹ˣᵈ の状態空間を安定部分空間と不安定部分空間に分割する分割定理を用いる。
• 測度論的道具とエルゴディック分解定理を用いて、記号列上の不変測度を分析する。
• 軌道の進化をモデル化し、長期的挙動を分析するために、片側シフト空間 Σ⁺ₖ 上のシフト写像 θ を適用する。
• スイッチング列にわたる行列積の成長を制御するために、本質的非一様積分有界性の概念を導入する。
• エゴロフの定理を活用して、正の測度を持つ部分集合上でほとんど一様収束を導出し、指数的レート推定を可能にする。
• 各軌道 i· に関連する安定部分空間 Es(i·) を用いて、スペクトル的性質による収束挙動の特徴付けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間マルコフ過程型ジャンプ線形システムにおいて、点別収束が点別指数的収束を含意する条件は何か？
• RQ2 マルコフ過程スイッチングプロセスの構造は、行列積の安定性にどのように影響するか？
• RQ3 エルゴディック性と不変測度は、確率的線形システムにおける収束タイプを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 やや強い有界性仮定の下で、非一様収束を指数的収束に変換できるか？
• RQ5 線形コサイクル理論および制御系において、一様収束と非一様収束の違いがなぜ重要なのか？

主な発見

• システムが本質的非一様積分有界性を満たす限り、点別収束と点別指数的収束は同値である。
• xSᵢ₁⋯Sᵢₙ → 0 を満たす正の測度を持つ軌道の集合が存在するならば、その中に指数的減衰が発生する部分集合が存在する。
• 任意の非ゼロ初期状態 x に対して、正の測度を持つボレル部分集合の軌道が存在し、その中で x が安定部分空間 Es(i·) に属する。
• 安定部分空間 Es(i·) はシフト写像 θ に関して不変であり、この部分空間上での収束は指数的減衰レートを保証する。
• エルゴディック性が成立しても、点別収束を達成する軌道の集合が全測度を持たないことがあるため、収束の非一様性が顕著に現れる。
• 証明は、エルゴディック分解、エゴロフの定理によるほとんど一様収束、および状態空間のスペクトル的分割の相乗作用に依存している。