[論文レビュー] Poisson Bracket and Symplectic Structure of Covariant Canonical Formalism of Fields

Yasuhito Kaminaga|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多様体上の微分形式としての正準変数を用いる、共変正準形式のための新しいポアソン括弧とシンプレクティック構造を導入する。微分形式の代数上の階数付きポアソン括弧を定義することにより、ローレンツおよびゲージ共変性を明示的に保つハミルトニアン枠組みを確立し、従来の力学を一般化するとともに、重力やゲージ理論を含む場の理論の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

The covariant canonical formalism is a covariant extension of the traditional canonical formalism of fields. In contrast to the traditional canonical theory, it has a remarkable feature that canonical equations of gauge theories or gravity are not only manifestly Lorentz covariant but also gauge covariant or diffeomorphism covariant. A mathematical peculiarity of the covariant canonical formalism is that its canonical coordinates are differential forms on a manifold. In the present paper, we find a natural Poisson bracket of this new canonical theory, and study symplectic structure behind it. The phase space of the theory is identified with a ringed space with the structure sheaf of the graded algebra of "differentiable" differential forms on the manifold. The Poisson and the symplectic structure we found can be even or odd, depending on the dimension of the manifold. Our Poisson structure is an example of physical application of Poisson structure defined on the graded algebra of differential forms.

研究の動機と目的

• 古典的場の理論のための明示的共変ハミルトニアン形式を構築し、空間と時間を同等に扱う。
• ゲージ理論や重力に対して、従来の正準形式がゲージ固定やディラック括弧を必要とすることの制限を克服する。
• 微分形式の代数上に自然なポアソン括弧を定義し、ローレンツおよびゲージ対称性を保存する。
• 微分形式と階数付き幾何学を用いて、共変正準形式の背後にあるシンプレクティック構造を確立する。
• 得られたポアソン構造がハミルトニアン方程式と整合しており、階数付きジャコビ恒等式を満たすことを示す。

提案手法

• テンソル成分の代わりに微分形式を正準変数として採用することで、明示的共変性を実現する。
• 変分法とウェッジ積構造を用いて、微分形式同士の導関数を定義する。
• ラグランジュ $ n $-形式 $ L $ からのラグランジュ変換を用いて、ハミルトニアン $ n $-形式 $ H $ を $ p_a, \pi_\alpha $ の共役運動量を用いて定義する。
• 関数的微分を $ H $ に対してとることで、ローレンツおよびゲージ共変性を保証する共変正準運動方程式を導出する。
• 微分形式の空間にシンプレクティック形式 $ \bm{\omega} $ を構成し、各関数 $ f $ に対してハミルトニアンベクトル場 $ \bm{X}_f $ を得る。
• ポアソン括弧を $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g = -\langle \bm{X}_f, \bm{X}_g; \bm{\omega} \rangle $ として定義し、$ \mathbb{Z}_2 $-階数付きリーディアリフト構造を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正準変数が微分形式である共変正準形式において、ポアソン括弧を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 微分形式で記述された場の共変ハミルトニアン力学の背後にあるシンプレクティック構造は何か？
• RQ3 提案されたポアソン括弧は、場の理論におけるローレンツおよびゲージ（または微分同相）共変性をどのように保っているか？
• RQ4 微分形式の代数上のポアソン括弧の階数付き代数的構造（例えば、ジャコビ恒等式、ライブニッツ則）は何か？
• RQ5 この形式を用いることで、ゲージ理論や重力の正準運動方程式を、ゲージ固定やディラック括弧を用いずに導出できるか？

主な発見

• 微分形式の代数上に自然なポアソン括弧 $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g $ が定義され、階数付き反対称性およびジャコビ恒等式を満たす。
• ポアソン括弧の $ \mathbb{Z}_2 $-階数は $ |\{f,g\}| = |f| + |g| + n + 1 \mod 2 $ であり、形式の階数付き性質を反映している。
• シンプレクティック構造は、微分形式の空間上の非退化的かつ閉じており、階数付き対称な 2-形式 $ \bm{\omega} $ を用いて構成される。
• ハミルトニアンベクトル場 $ \bm{X}_f $ は $ i_{\bm{X}_f}\bm{\omega} = \bm{d}f $ により定義され、ポアソン括弧は $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g $ として導かれる。
• 写像 $ f \mapsto \bm{X}_f $ は $ \mathbb{Z}_2 $-階数付きリーディアリフト代数の準同型であり、$ \bm{X}_{\{f,g\}} = -[\bm{X}_f, \bm{X}_g] $ を満たす。
• この形式により、ゲージ理論および重力の両方に対して、明示的ローレンツおよびゲージ共変な運動方程式が得られ、ゲージ固定やディラック括弧を必要としない。