[論文レビュー] Reconsideration of De Donder-Weyl theory by covariant analytic mechanics

Satoshi Nakajima|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ゲージおよび重力場に対して根本的な欠陥を是正した改良型 De Donder-Weyl (DW) 理論と、共変解析力学 (CAM) の間の厳密な等価性を確立している。CAM の微分形式に基づく正準方程式をテンソル成分に再定式化することで、著者たちはそれが是正された DW 方程式と一致することを示し、さらにスピン場のみを独立変数として用いる修正されたハミルトニアン形式を提示。この形式により、ディラック方程式が正しく導出可能である。

ABSTRACT

We show that the covariant analytic mechanics (CAM) is closely related to the De Donder-Weyl (DW) theory. To treat space and time on an equal footing, the DW theory introduces $D$ conjugate fields ($D$ is the dimension of space-time) for each field and the CAM regards the differential forms as the basic variables. The generalization of the canonical equations is called the DW equations. Although one of the DW equations is not correct for the gauge field and the gravitational field, we show the way to improve it. By rewriting the canonical equations of the CAM, which are manifestly general coordinate covariant and gauge covariant, using the components of the tensors, we show that these are equivalent to the improved DW equations. Additionally, we investigate the Dirac field. We present a modified Hamilton formalism which regards only the Dirac fields as the basic variables and show that it provides the Dirac equations correctly.

研究の動機と目的

• ゲージおよび重力場に適用した際、正準方程式の一つが共役運動量の対称性の誤った取り扱いにより失敗する、元来の De Donder-Weyl (DW) 理論における不整合を解消すること。
• 微分形式を基本変数として用いる共変解析力学 (CAM) フレームワークが、是正された DW 理論と等価であることを示すこと。
• スピン場のみを独立変数として扱う修正ハミルトニアン形式を構築し、不適切な制約を回避するとともに、ディラック方程式を正しく再現できることを検証すること。
• CAM と元来の DW 理論におけるポアソン括弧の違いを明確にし、テンソル成分による定式化に起因する不整合を避ける、形式に基づく CAM の括弧構造の優位性を示すこと。

提案手法

• 微分形式で表現された CAM の正準方程式を、場および共役運動量のテンソリアル表現を用いて成分形式に再定式化する。
• 元来の DW 方程式の欠陥を特定：ゲージ場および重力場のようなテンソル場では、多運動量（polymomenta）がすべての時空添字に対して独立であるという仮定が成立しないこと。
• 共役運動量の完全反対称性を強制することで制約に基づく是正を導入し、改良型 DW 方程式を導出する。
• CAM の正準方程式の成分形式が、一般座標およびゲージ共変性のもとで、改良型 DW 方程式と厳密に一致することを示し、両者の等価性を証明する。
• 制約を扱うためにラグランジュ乗数を導入し、CAM 形式をディラック場に適用。その後、スピン場のみを独立変数として扱う修正ハミルトニアン形式を導出する。
• 変分を実行し、スピン場領域におけるオイラー＝ラグランジュ方程式と整合することを確認することで、修正ハミルトニアン形式が正しいディラック方程式を導出できることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元来の De Donder-Weyl 理論がゲージおよび重力場を正しく記述できない理由は何か？ その正準方程式における誤りの正確な性質は何か？
• RQ2 微分形式による定式化を経て、共変解析力学 (CAM) フレームワークが、成分形式の観点から是正された De Donder-Weyl 理論と等価であることを示せるか？
• RQ3 第一級制約およびフェルミオン的性質を有するディラック場は、明示的な共変ハミルトニアン形式において一貫して取り扱えるか？
• RQ4 微分形式とテンソル成分のどちらがポアソン括弧を定義する上で重要か？ なぜ CAM の形式的アプローチは、元来の DW 定式化に見られる不整合を回避できるのか？
• RQ5 スピン場のみを独立変数として扱う修正ハミルトニアン形式を構築可能か？ そして、その形式が正しい力学を再現できるか？

主な発見

• ゲージおよび重力場に対して、共役運動量の時空添字における完全反対称性を正しく強制しないことが原因で、元来の De Donder-Weyl 理論に誤った方程式が存在する。
• 多運動量に反対称性制約を課すことにより、理論の正準構造と整合するように是正された DW 方程式のセットを導出できた。
• 共変解析力学 (CAM) の正準方程式の成分形式は、是正された DW 方程式と数学的に等価であり、CAM と是正済み DW 形式との間の厳密な等価性を確立した。
• 微分形式に基づくポアソン括弧構造を有する CAM は、テンソル成分を用いる元来の DW 理論とは異なり、不整合を回避でき、正しくない力学的振る舞いを防げる。
• スピン場のみを独立変数として扱う修正ハミルトニアン形式は、ディラック方程式を正しく再現でき、このアプローチの整合性を確認した。
• 導出結果から、変分を独立スピン場のみに対して実行した場合、ディラック方程式がハミルトニアン形式から自然に導かれることが確認された。このとき、共役形式は従属変数として扱われる。