[論文レビュー] Poisson structures and birational morphisms associated with bundles on elliptic curves

Alexander Polishchuk|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、楕円曲線上の安定対（ベクトル束とその全域切断を伴うもの）のモジュライ空間にポアソン構造を構成する。特に、主G束に関連するものに注目している。このようなモジュライ空間と射影空間との間の双有理写像を確立し、楕円曲線上のシンプレクティック構造および代数的構造を通じて、深い幾何的関係を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper we define a Poisson structure on some moduli spaces related to principal G-bundles on elliptic curves, the simplest example being the moduli space of stable pairs: a vector bundle and its global section. We also study birational morphisms between projective spaces appearing as such moduli spaces.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の主G束に関連するモジュライ空間にポアソン構造を定義すること。
• 安定対（ベクトル束とその全域切断を伴うもの）から生じるモジュライ空間の幾何を分析すること。
• これらのモジュライ空間と射影空間との間の双有理写像を研究すること。
• 楕円曲線の代数幾何学とシンプレクティック／ポアソン幾何学との間の関係を確立すること。
• 既知のモジュライ空間に関する結果を、ポアソン構造および双有理構造を含む形に一般化すること。

提案手法

• リー代数および表現論的技法を用いて、安定対のモジュライ空間にポアソン構造を構成する。
• 楕円曲線上の主G束の理論を適用し、基礎となる幾何的枠組みを定義する。
• 楕円曲線の幾何を用いて、モジュライ空間にポアソン括弧を誘導する。
• 幾何的不変量理論を用いて、モジュライ空間と射影空間との間の双有理写像を分析する。
• 安定性条件および変形理論を含む代数幾何学的技法を用いる。
• 導来カテゴリの構造およびコhomological手法を用いて、モジュライ空間を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、楕円曲線上の安定対のモジュライ空間に自然なポアソン構造を定義できるか？
• RQ2 主G束は、このようなモジュライ空間にポアソン構造を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 これらのモジュライ空間と射影空間との間の双有理写像は、どのようにして生じるか？
• RQ4 これらの双有理写像の下で、何が保存され、何が変換される幾何的不変量か？
• RQ5 これらのモジュライ空間に現れるシンプレクティック構造およびポアソン構造は、どのようにしてその背後にある楕円曲線の幾何を反映しているか？

主な発見

• 本稿は、E がベクトル束で s が全域切断である安定対 (E, s) のモジュライ空間に自然なポアソン構造を構成する。
• 楕円曲線上の主G束のモジュライ空間のクラスを同定し、それらが代数幾何学と整合するポアソン構造を有することを示す。
• これらのモジュライ空間と射影空間との間の双有理写像は、安定性条件における幾何的遷移から生じることが示された。
• ポアソン構造は、G のルート系およびリー理論的データを用いて明示的に記述される。
• 特定の状況、特にランク2束の場合に、モジュライ空間が射影空間と双有理的であることが示された。
• この構成は、シンプレクティック幾何学、表現論、代数幾何学が楕円曲線上で深く相互に作用していることを明らかにする。