[論文レビュー] Poisson structures on affine spaces and flag varieties. II. General case

K. R. Goodearl, Milen Yakimov|ArXiv.org|Sep 4, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、再帰的代数群 $G$ に関連する $G/P_J^+$ のポアソンフラッグ多様体におけるシンプレクティックリーブとその閉包を、古典的 $r$-行列によって誘導される標準ポアソン構造を用いて分類する。$H$-軌道の有限パラメータ化を、ブルハット順序における対 $(w_1,w_2)$ によって行い、それらを双対シューベルト胞体の交差と特定し、ヘルミート対称型の場合の閉包とポアソン部分多様体を特徴づけ、コミヌスキュルパラボリック商を用いてアフィン空間上に新たな二次ポアソン構造を構成する。

ABSTRACT

The standard Poisson structures on the flag varieties G/P of a complex reductive algebraic group G are investigated. It is shown that the orbits of symplectic leaves in G/P under a fixed maximal torus of G are smooth irreducible locally closed subvarieties of G/P, isomorphic to intersections of dual Schubert cells in the full flag variety G/B of G, and their Zariski closures are explicitly computed. Two different proofs of the former result are presented. The first is in the framework of Poisson homogeneous spaces and the second one uses an idea of weak splittings of surjective Poisson submersions, based on the notion of Poisson--Dirac submanifolds. For a parabolic subgroup P with abelian unipotent radical (in which case G/P is a Hermitian symmetric space of compact type), it is shown that all orbits of the standard Levi factor L of P on G/P are complete Poisson subvarieties which are quotients of L, equipped with the standard Poisson structure. Moreover, it is proved that the Poisson structure on G/P vanishes at all special base points for the L-orbits on G/P constructed by Richardson, Röhrle, and Steinberg.

研究の動機と目的

• 再帰的代数群 $G$ のポアソンフラッグ多様体 $G/P_J^+$ における $H$-軌道のシンプレクティックリーブを分類すること。
• これらのシンプレクティックリーブのザリスキ閉包をブルハット順序とワイル群のデータを用いて特徴づけること。
• パラボリック部分群 $P_J^+$ が可換なユニポテンツ部分をもつ場合、特にコンパクト型のヘルミート対称空間の場合に、フラッグ多様体上のポアソン構造の幾何を研究すること。
• コミヌスキュルパラボリック部分群を用いて、量子対称代数の準古典的極限として、アフィン空間上に明示的な二次ポアソン構造を構成すること。
• $G/P_J^+$ 上のポアソン構造を、ルシュティグの双対シューベルト胞体の交差による分割と関連付けること。

提案手法

• リー代数 ${\frak g}$ 上の標準 $r$-行列を用いて、$G$ 上にポアソン構造 $\pi_G$ を定義し、商写像 $\eta_J$ を通じて $G/P_J^+$ に引き下げる。
• ブルハット順序において $w_1 \leq w_2$ を満たす $w_1 \in W^J_{\max}$, $w_2 \in W$ の対 $(w_1,w_2)$ を用いて、$H$-軌道をパラメータ化する。
• 各シンプレクティックリーブが、$G/P_J^+$ への写像としての二重ブルハット胞体 ${\mathcal U}_{\dot w_1,w_2} = U_{w_1}^{-}\dot w_1 \cap B^+w_2B^+$ の像として得られることを特定する。
• 微小作用 $\chi: \wedge{\frak g} \to \Gamma(M, \wedge TM)$ を適用し、ポアソン構造と $G/P_J^+$ 及びその $H$-作用の幾何を関連付ける。
• $L_J$-軌道と $L_J$ 上の標準ポアソン構造の商との同型を用いて、ヘルミート対称型の場合にポアソン部分多様体が完全であることを示す。
• 量子反対称行列と半スピン表現の準古典的極限を用いて、アフィン空間 $\mathfrak{n}^{-}_{\Gamma \setminus \{\alpha\}}$ 上に明示的なポアソン括弧を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソンフラッグ多様体 $G/P_J^+$ における $H$-軌道のシンプレクティックリーブはどのようにパラメータ化され、その幾何的構造は何か？
• RQ2 $G/P_J^+$ における各 $H$-軌道のシンプレクティックリーブの閉包は何か？ それはブルハット順序およびワイル群の元を用いてどのように記述されるか？
• RQ3 パラボリック部分群 $P_J^+$ が可換なユニポテンツ部分をもつとき、$L_J$-軌道は $G/P_J^+$ の完全なポアソン部分多様体であるか？ また、リチャードソン–ローレル–シュタインベルク軌道の基点におけるポアソン構造はどのように振る舞うか？
• RQ4 アフィン空間 $\mathfrak{n}^{-}_{\Gamma \setminus \{\alpha\}}$ に誘導されたポアソン構造は、既知の量子代数とどのように関係し、その明示的括弧は何か？
• RQ5 $G/P_J^+$ の $H$-軌道のシンプレクティックリーブによる分割は、ルシュティグの双対シューベルト胞体の交差による分割と同値か？

主な発見

• ポアソンフラッグ多様体 $G/P_J^+$ における $H$-軌道のシンプレクティックリーブは、ブルハット順序において $w_1 \leq w_2$ を満たす対 $(w_1,w_2) \in W^J_{\max} \times W$ と一対一対応する。
• 各シンプレクティックリーブは、完全フラッグ多様体 $G/B^+$ 内の双対シューベルト胞体の交差 $B^{-}x_{w_1} \cap B^{+}x_{w_2}$ に同型である。
• シンプレクティックリーブ $\mathcal{S}^J_{w_1,w_2}$ のザリスキ閉包は、$v_1 \leq v_2$ かつ $w_1 \leq v_1 z$, $w_2 \geq v_2 z$ を満たす $z \in W_J$ が存在するような対 $(v_1,v_2)$ に対する $\mathcal{S}^J_{v_1,v_2}$ の和集合である。
• パラボリック部分群 $P_J^+$ が可換なユニポテンツ部分をもつとき、すべての $L_J$-軌道は完全なポアソン部分多様体であり、$G/P_J^+$ 上のポアソン構造はリチャードソン–ローレル–シュタインベルク軌道の基点で消える。
• $G = \mathrm{SO}_{2N}$ および $J = \Gamma \setminus \{\alpha_N\}$ の場合、$\mathfrak{n}^{-}_{\Gamma \setminus \{\alpha_N\}}$ 上に誘導されたポアソン構造は、符号関数と構造定数 $a_{i,j}^{I,J}$ を含む明示的括弧で与えられる。
• $G = E_6$ および $J = \Gamma \setminus \{\alpha_1\}$ の場合、16次元空間 $V_{{\mathfrak{so}}_{10}}^{\omega_5}$ 上のポアソン構造は、$\{1,\dots,5\}$ の奇数部分集合 $I,J$ に関する和を含む式で明示的に与えられ、係数は $a_{i,j}^{I,J} = (-1)^{|I(i,j)| + |J(i,j)|}$ である。