[論文レビュー] Poisson traces and D-modules on Poisson varieties

Pavel Etingof, Travis Schedler+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、任意のポアソン多様体 X 上に、ハミルトニアンフローに関して不変な関数型（Poisson trace）と、M(X) の零番目のコホモロジーを結びつける、標準的な右 D-加群 M(X) を導入する。X が有限個のシンプレクティックリーブを持つ場合、M(X) は特徴的（holonomic）であることが示され、その結果、X 上のポアソントレースの空間が有限次元であることが保証される。この結果は、写像およびポアソン加群へと拡張され、中心が有限個のシンプレクティックリーブを持つ非可換フィルター付き代数に対して、有限次元性の定理が得られる。

ABSTRACT

To every Poisson algebraic variety X over an algebraically closed field of characteristic zero, we canonically attach a right D-module M(X) on X. If X is affine, solutions of M(X) in the space of algebraic distributions on X are Poisson traces on X, i.e., distributions invariant under Hamiltonian flows. When X has finitely many symplectic leaves, we prove that M(X) is holonomic. Thus, when X is affine and has finitely many symplectic leaves, the space of Poisson traces on X is finite-dimensional. As an application, we deduce that noncommutative filtered algebras whose associated graded algebras are coordinate rings of Poisson varieties with finitely many symplectic leaves have finitely many irreducible finite-dimensional representations. The appendix, by Ivan Losev, strengthens this to show that in such algebras, there are finitely many prime ideals, and they are all primitive. More generally, to any morphism phi: X -> Y and any quasicoherent sheaf of Poisson modules N on X, we attach a right D-module M_phi(X, N) on X, and prove that it is holonomic if X has finitely many symplectic leaves, phi is finite, and N is coherent. As an application, the finiteness result for irreducible representations of noncommutative filtered algebras extends to the case where the associated graded algebra is not necessarily commutative, but is finitely generated as a module over its center, which is the coordinate ring of a Poisson variety with finitely many symplectic leaves. We also describe explicitly (in the settings of affine varieties and compact smooth manifolds) the space of Poisson traces on X when X=V/G, where V is symplectic and G is a finite group acting faithfully on V. In particular, we show that this space is finite-dimensional.

研究の動機と目的

• ポアソントレースの非局所的性質を、ポアソン多様体上に幾何的 D-加群枠組みを構築することで解消すること。
• 任意のポアソン多様体 X 上に、コホモロジーがポアソンホモロジー HP₀(O_X) を計算する標準的 D-加群 M(X) を確立すること。
• X が有限個のシンプレクティックリーブを持つ場合、M(X) が特徴的であることを証明し、ポアソントレースの有限次元性を保証すること。
• 写像 φ:X→Y およびポアソン加群 N に対して理論を拡張し、同様の有限次元性を持つ D-加群 M_φ(X,N) を構成すること。
• 結果を非可換代数に応用し、中心が有限個のシンプレクティックリーブを持つ場合、HH₀(A) と有限次元表現の数が有限になることを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンベクトル場のリー代数作用を用いて、ポアソン多様体 X 上に右 D-加群 M(X) を構成する。
• 写像 φ:X→Y および X 上の準層のポアソン加群 N に対して、M(X) を一般化した M_φ(X,N) を定義する。
• φ による非導来直接像を用いて、N / {O_Y, N} を Y に関するポアソントレースの空間として実現する。
• X が有限個のシンプレクティックリーブを持ち、φ が有限かつ N が coherent であるとき、M_φ(X) および M_φ(X,N) の特徴的性を証明する。
• 特徴的性を応用して、D-加群の直接像の性質を用いて、HP₀(O_X) および関連空間の有限次元性を導出する。
• 変形理論的技法およびリース代数を用いて、フィルター付き量子化およびその表現への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン多様体上のポアソントレースは、局所的 D-加群構成によって記述可能か？
• RQ2 ポアソン多様体 X がどのような幾何的条件下に、ポアソントレースの空間が有限次元になるか？
• RQ3 D-加群 M(X) とポアソンホモロジー HP₀(O_X) の関係は何か？
• RQ4 フィルター付き非可換代数の中心にどのような有限性条件を課すと、有限次元表現が有限個になるか？
• RQ5 このような代数における素イデアルおよび原始的イデアルは有限個であり、良好に振る舞うか？

主な発見

• ポアソン多様体 X 上の D-加群 M(X) は、X が有限個のシンプレクティックリーブを持つ場合、特徴的である。この結果、ポアソントレースの空間が有限次元であることが保証される。
• 任意の有限写像 φ:X→Y および X 上の coherent ポアソン加群 N に対して、同じシンプレクティックリーブの条件のもとで D-加群 M_φ(X,N) は特徴的である。
• X が有限個のシンプレクティックリーブを持ち、φ が有限であるとき、O_X / {O_Y, O_X} は有限次元である。これは商多様体のケースを一般化する。
• X = V/G がシンプレクティックベクトル空間 V と、忠実に作用する有限群 G による商であるとき、ポアソントレースの空間は明示的に記述可能であり、有限次元である。
• フィルター付き非可換代数 A で、その関連次数環が中心に関して有限であり、シンプレクティックリーブが有限個である場合、HH₀(A) = A/[A,A] は有限次元である。
• このような代数において、イワン・ローゼフの付録により、素イデアルは有限個であり、すべて原始的であることが示され、特にシンプレクティック反射代数が含まれる。