[論文レビュー] Polarized deformation quantization

Paul Bressler, J. Donin|ArXiv.org|Jul 30, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素極化を備えたシンプレクティック多様体上に偏極化された変形量子化枠組みを確立し、極化と整合するスター積代数 $\omega$-可換性の存在を証明するとともに、フェドソフ類 $\theta(\mathcal{A})$、極化のチャーン類 $c_1(P)$、偏極化部分代数 $\mathcal{O}$ の導分代数の拡張類 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ を結ぶ明確な公式を導出する。主な結果は、$\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O}) - \frac{1}{2}c_1(P)$ という恒等式であり、これはカラベゴフの変数分離型量子化を偏極化設定に一般化するものである。

ABSTRACT

Let $A$ be a star product on a symplectic manifold $(M,ω_0)$, $\frac{1}{t}[ω]$ its Fedosov class, where $ω$ is a deformation of $ω_0$. We prove that for a complex polarization of $ω$ there exists a commutative subalgebra, $O$, in $A$ that is isomorphic to the algebra of functions constant along the polarization. Let $F(A)$ consists of elements of $A$ whose commutator with $O$ belongs to $O$. Then, $F(A)$ is a Lie algebra which is an $O$-extension of the Lie algebra of derivations of $O$. We prove a formula which relates the class of this extension, the Fedosov class, and the Chern class of $P$.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体 $(M,\omega_0)$ 上に、複素極化 $P$ と整合するスター積代数 $\mathcal{A}$ を構成すること。
• 極化に沿って定数となる関数からなる部分代数 $\mathcal{O} \subset \mathcal{A}$ を定義し、可換性を保つこと。
• 部分代数 $\mathcal{O}$ の導分代数の $\mathcal{O}$-拡張としての構造を有する Lie 代数 $F(\mathcal{A}) = \{f \in \mathcal{A} \mid [f,\mathcal{O}] \subset \mathcal{O}\}$ を研究すること。
• フェドソフ類 $\theta(\mathcal{A})$、チャーン類 $c_1(P)$、および $\mathcal{O}$-拡張 $F(\mathcal{A})$ の拡張類 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ の間の明確な関係式を導出すること。

提案手法

• フェドソフ法を変形して、複素極化を備えたシンプレクティック多様体上のスター積を構成し、Weyl代数バンドル上の平坦接続を用いる。
• 三重組 $(M,\omega_0,P)$ の変形 $(M,\omega,\mathcal{P})$ を導入し、$\mathcal{P}$ を極化 $P$ の変形とする。
• 極化されたスター積 $(\mathcal{A},\mathcal{O})$ を定義し、$\mathcal{O}$ が $\mathcal{P}$ 沿いに定数となる関数から構成され、$f \in \mathcal{O}$、$g \in \mathcal{A}$ に対して $f \ast g = fg$ となるようにする。
• $\mathcal{O}$ との交換子が $\mathcal{O}$ に属する要素からなる $\mathcal{A}$ の集合として Lie 代数 $F(\mathcal{A})$ を構成し、これは $\mathrm{Der}(\mathcal{O})$ の $\mathcal{O}$-拡張をなす。
• デリーニの障害理論とフェドソフ類の $t$-微分を用いて、拡張類 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ とフェドソフ類 $\theta(\mathcal{A})$、チャーン類 $c_1(P)$ の関係を導出する。
• 逆代数 $\mathcal{A}^{op}$ と $t$-反転 $\mathcal{A}^\sigma$ にフェドソフ構成を適用し、関係式 $\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O}) - c$ の定数項を特定する。最終的に $c = \frac{1}{2}c_1(P)$ を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素極化 $P$ を備えたシンプレクティック多様体 $(M,\omega_0)$ 上に、部分代数 $\mathcal{O}$ が $P$ 沿いに定数となるスター積 $\mathcal{A}$ が存在するか。さらに、$\mathcal{O}$ がスター積下でも可換性を保つのか。
• RQ2 $\mathcal{O}$ を正規化する要素の Lie 代数 $F(\mathcal{A})$ は、$\mathrm{Der}(\mathcal{O})$ の $\mathcal{O}$-拡張としてどのように構造化されているか。
• RQ3 偏極化量子化の文脈において、フェドソフ類 $\theta(\mathcal{A})$、極化のチャーン類 $c_1(P)$、および $\mathcal{O}$-拡張 $F(\mathcal{A})$ の拡張類 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ の間の明確な関係は何か。
• RQ4 拡張類 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ は、フェドソフ類と極化のチャーン類を用いて表現可能か。
• RQ5 フェドソフ類の $t$-依存性と障害理論は、偏極化量子化における拡張類の構造とどのように関係しているか。

主な発見

• 任意の良い極化 $P$ 及びその変形 $(M,\omega,\mathcal{P})$ に対して、極化されたスター積 $(\mathcal{A},\mathcal{O})$ が存在し、$\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}[\omega]$ を満たす。これは実極化に対する以前の結果を一般化する。
• 部分代数 $\mathcal{O} \subset \mathcal{A}$ は変形された極化 $\mathcal{P}$ 沿いに定数となる関数から構成され、スター積は $\mathcal{O}$ 上で可換積に制限される。
• $\mathcal{O}$ を正規化する Lie 代数 $F(\mathcal{A})$ は $\mathrm{Der}(\mathcal{O})$ の $\mathcal{O}$-拡張をなし、$P$ が強い極化であれば局所的に分解可能である。
• 強い極化に対して、拡張類 $\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ は $H^2(M, \frac{1}{t}\mathbb{C}[[t]])$ に一意に定義される。
• 主な公式 $\theta(\mathcal{A}) = \frac{1}{t}\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O}) - \frac{1}{2}c_1(P)$ が成り立ち、フェドソフ類、拡張類、極化のチャーン類を結ぶ。
• この公式は、カラベゴフの変数分離型量子化を一般化し、$\mathrm{cl}(\mathcal{A},\mathcal{O})$ がケーラーの場合にカラベゴフの類と一致することが示される。