[論文レビュー] Poly: An abundant categorical setting for mode-dependent dynamics

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、内部状態に応じて接続図やインターフェースが変化するモード依存ダイナミカルシステムをモデル化する自然で構造的に豊かな圏的枠組みとして、多項式ファンクターの族 𝖯𝗈𝗅𝗒 を提案する。この論文は、𝖯𝗈𝗅𝗒 が合成とテンソル積を含む複数の相互作用するモノイド構造を備えていることを示し、これらの構造のコアルゲブラが自然にダイナミカルシステムをモデル化でき、モード依存性が圏の固有の圏的豊かさに起因することを示している。

ABSTRACT

Dynamical systems---by which we mean machines that take time-varying input, change their state, and produce output---can be wired together to form more complex systems. Previous work has shown how to allow collections of machines to reconfigure their wiring diagram dynamically, based on their collective state. This notion was called "mode dependence", and while the framework was compositional (forming an operad of re-wiring diagrams and algebra of mode-dependent dynamical systems on it), the formulation itself was more "creative" than it was natural. In this paper we show that the theory of mode-dependent dynamical systems can be more naturally recast within the category Poly of polynomial functors. This category is almost superlatively abundant in its structure: for example, it has \emph{four} interacting monoidal structures $(+, imes,\otimes,\circ)$, two of which ($ imes,\otimes$) are monoidal closed, and the comonoids for $\circ$ are precisely categories in the usual sense. We discuss how the various structures in Poly show up in the theory of dynamical systems. We also show that the usual coalgebraic formalism for dynamical systems takes place within Poly. Indeed one can see coalgebras as special dynamical systems---ones that do not record their history---formally analogous to contractible groupoids as special categories.

研究の動機と目的

• 時間変化するインターフェースと接続パターンを有するダイナミカルシステムを、自然で構造的に豊かな圏的設定でモデル化すること。
• 従来の臨床的でないオペラッド的枠組みの限界を克服し、より基礎的かつ豊かな圏に埋め込むこと。
• 多項式ファンクターの圏 𝖯𝗈𝗅𝗒 が、静的および動的システムの両方の合成を統一的かつ構成的に行う設定を提供すること。
• 標準的なダイナミカルシステムのコアルゲブラ的形式的定式化が、圏の内部構造に起因するモード依存性を自然に内包するように、𝖯𝗈𝗅𝗒 に埋め込まれることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、集合上の多項式ファンクターの圏 𝖯𝗈𝗅𝗒 を基礎的設定として用い、その豊かな圏的構造を活用する。
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 に存在する主要なモノイド構造（+、×、⊗、∘）を同定し、× と ⊗ がモノイド的閉じていることを示し、内部ホムと関数空間を可能にする。
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 における合成構造 ∘ に関するコモノイドが、標準的な意味での圏に正確に一致することを確立し、圏論とシステム合成を結びつける。
• ダイナミカルシステムを多項式ファンクター上のコアルゲブラとしてモデル化し、コアルゲブラ的定式化が 𝖯𝗈𝗅𝗒 内部で自然に内包されることを示す。
• 接続図を 𝖯𝗈𝗅𝗒 内のモルフィズムとして形式化し、モード依存システムはインターフェースが状態に応じて変化する非単項式多項式によって表現される。
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 における積の普遍性を用いて、文脈依存のシステムを含むダイナミカルシステムの合成を、圏論的極限と普遍的構成を通じて自然に行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部状態に応じてインターフェースや接続パターンが変化するモード依存ダイナミクスを、構成的かつ構造的に自然に形式化する方法は何か？
• RQ2 インターフェースが固定でない場合に、ダイナミカルシステムの構成的接続を裏付ける圏的構造は何か？
• RQ3 ダイナミカルシステムのコアルゲブラ的形式的定式化を、モード依存性を自然に内包するより豊かな圏的枠組みに埋め込むことは可能か？
• RQ4 多項式ファンクターの圏に存在する複数のモノイド構造が、システムの相互作用と再構成のモデル化に果たす役割は何か？
• RQ5 多項式ファンクターの圏は、静的接続図、動的再構成、システム合成を、どのように一つの形式的定式化で統一するか？

主な発見

• 圏 𝖯𝗈𝗅𝗒 は四つの相互作用するモノイド構造（+、×、⊗、∘）を備え、× と ⊗ がモノイド的閉じており、関数空間と内部ホムを可能にする。
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 における合成構造 ∘ に関するコモノイドは、標準的な意味での圏に正確に一致する。
• 多項式ファンクター上のコアルゲブラとしてモデル化されたダイナミカルシステムは、自然に 𝖯𝗈𝗅𝗒 に埋め込まれており、コアルゲブラ的定式化は履歴を記録しないシステムを捉えている。
• モード依存システムは、インターフェース型が状態に応じて変化する非単項式多項式 𝒚^A₁A₂ + 𝒚 + B𝒚 のような形で表現される。
• 接続図（動的再構成を含む）は 𝖯𝗈𝗅𝗒 内のモルフィズムとして形式化され、ディリクレ積によりシステムの並べ替えが可能になる。
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 における積の普遍性により、インターフェースが文脈依存であっても、ダイナミカルシステムの自然な重ね合わせと合成が可能になる。