[論文レビュー] Generalized Lens Categories via functors $\mathcal{C}^{ m op} o\mathsf{Cat}$

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の関手 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ に対して、グロテンディーク構成の変種を用いて、新しい圏 ${\mathsf{Lens}}_F$ を定義することにより、レンズの圏を一般化する。標準レンズ、リング付き空間、オープンな力学系がすべて特別な場合として現れることを示し、これらを共通の圏論的枠組みで統一し、コクリースリー構成を用いてレンズ理論を対称モノイダル圏へ拡張する。

ABSTRACT

Lenses have a rich history and have recently received a great deal of attention from applied category theorists. We generalize the notion of lens by defining a category $\mathsf{Lens}_F$ for any category $\mathcal{C}$ and functor $F\colon \mathcal{C}^{ m op} o\mathsf{Cat}$, using a variant of the Grothendieck construction. All of the mathematics in this note is straightforward; the purpose is simply to see lenses in a broader context where some closely-related examples, such as ringed spaces and open continuous dynamical systems, can be included.

研究の動機と目的

• 標準的な $\mathsf{Set}$ 上のペアの設定を超えて、リング付き空間やオープンな力学系のような構造を含むようにレンズ理論を拡張すること。
• インデックス付き圏とグロテンディーク構成の変種を用いて、レンズの統一的な圏論的枠組みを提供すること。
• 対称モノイダル圏に対して、コクリースリーに基づくレンズ圏を構成することにより、レンズ圏を任意の対称モノイダル圏へ一般化すること。
• 入力関手 $F$ が弱モノイダルである場合に、得られる一般化されたレンズ圏 ${\mathsf{Lens}}_F$ がモノイダル構造を引き継ぐ条件を特定すること。

提案手法

• 関手 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ のグロテンディーク構成の逆圏として、一般化されたレンズ圏 ${\mathsf{Lens}}_F$ を定義する。
• ${\mathsf{Lens}}_F$ の射を、$\mathcal{C}$ 内の射 $f: c \to d$ と、$F(c)$ 内の射 $f^\sharp: c \times y \to x$ のペア $(f, f^\sharp)$ として表現し、レンズの get と put 操作を一般化する。
• 標準的な $\mathsf{Set}$ 上のレンズ圏を、関手 $\mathsf{Slice}: \mathsf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ を用いて回復する。
• 対称モノイダル圏におけるレンズ圏を、可換コモノイド上のコクリースリー圏 $\mathsf{coKl}: \mathsf{Comon}_\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ を用いて構成する。
• 関手 $F$ が弱モノイダルである場合に、${\mathsf{Lens}}_F$ に対称モノイダル構造を与えるために、モノイダルグロテンディーク構成を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レンズの概念を、リング付き空間やオープンな力学系のような構造を含むようにどのように一般化できるか？
• RQ2 標準的な $\mathsf{Set}$ 上のレンズ圏が、インデックス付き圏を用いたより一般の構成の特別な場合として回復できるか？
• RQ3 対称モノイダル圏におけるレンズ圏の圏論的構造は何か？ そして、それを明示的にどのように構成できるか？
• RQ4 一般化されたレンズ圏 ${\mathsf{Lens}}_F$ が、入力関手 $F$ からモノイダル構造を引き継ぐ条件は何か？

主な発見

• 関手 $F$ がスライス圏関手 $\mathsf{Slice}$ であるとき、一般化されたレンズ圏 ${\mathsf{Lens}}_F$ は、$\mathsf{Set}$ 上の標準的なレンズ圏と同型である。
• 対称モノイダル圏 $\mathcal{C}$ 上のレンズ圏は、${\mathsf{Lens}}_{\mathsf{coKl}}$ として回復され、ここで $\mathsf{coKl}$ は $\mathcal{C}$ 内の可換コモノイド上のコクリースリー構成である。
• 関手 $F$ が弱モノイダル関手である場合、モノイダルグロテンディーク構成により、レンズ圏 ${\mathsf{Lens}}_F$ は対称モノイダル構造を引き継ぐ。
• この構成により、一見異なる構造が統一される：標準レンズ、リング付き空間（層関手 $\mathsf{Sh}$ を通じて）、オープンな力学系（部分写像関手 $\mathsf{Subm}$ を通じて）。