[論文レビュー] Polyfolds And A General Fredholm Theory

Helmut Hofer|ArXiv.org|Sep 22, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、バブルやブレイキングなどの解析的特異性を有するモジュライ空間を扱うために、多様体の一般化としてのポリフォールドの枠組みの中で一般化されたフレドホルム理論を導入する。sc構造とsc滑らか写像を導入することにより、ポリフォールド上の強いバンドルのフレドホルム切断に対して、サード＝スメール型の摂動理論を可能にし、解集合がコンパクトで自然に向き付けられたコーナー付き分岐部分軌道的多様体を形成することを証明する。この理論は、シンプレクティックトポロジーにおける不変量（例えば、グロモフ＝ウィッテン不変量）の構成を支援する。

ABSTRACT

We survey a very general (nonlinear) Fredholm theory for a new class of ambient spaces, called polyfolds. This theory is being currently developed jointly with K. Wysocki and E. Zehnder. The basic feature of these new spaces is that in general they may have locally varying dimensions. These new spaces are needed for a functional analytic treatment of nonlinear problems involving analytic limiting behavior. This theory is applicable to Gromov-Witten and Floer Theory as well as Symplectic Field Theory.

研究の動機と目的

• バブルやブレイキングなどの解析的特異性を有するモジュライ問題におけるコンパクトネスと横断性の問題を扱う一般化されたフレドホルム理論の構築。
• sc構造とsc滑らか写像を導入することで、非自明な極限挙動を示す無限次元空間への古典的微分幾何学および関数解析学の拡張。
• ポリフォールドと強いバンドルを用いた、シンプレクティック場理論、グロモフ＝ウィッテン理論、フロイド理論における不変量の構成のための厳密な枠組みの提供。
• フレドホルム切断の解集合が自然にコンパクトで分岐したコーナー付き部分軌道的多様体であることを確立し、微分形式の積分と不変量の構成を可能にする。

提案手法

• Banach空間にsc構造を導入し、滑らか構造の一般化として、sc微分可能性と呼ばれる新たな微分可能性の概念を定義する。
• M-polyfoldsを、Banach空間のsc滑らかリトラクトに局所的に同相な距離空間として定義し、多様体と軌道的多様体を一般化する。
• M-polyfolds上の強いバンドルの理論を構築し、これらのバンドルのフレドホルム切断を古典的フレドホルム作用素の一般化として定義する。
• sc⁺-多重写像を用いてフレドホルム切断を横断的状態に摂動し、解集合がコンパクトで分岐したコーナー付き部分軌道的多様体であることを保証する。
• 線形化の行列式ラインバンドルを介して、フレドホルム切断に自然な向き付け理論を確立し、写像およびコボルディズムと整合性を持つ。
• グロモフ＝ウィッテン理論への応用として、安定曲線のポリフォールド上での∂̄_J作用素が、適切で向き付けられたポリフォールドフレドホルム切断であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的フレドホルム理論は、バブルやブレイキングのような非滑らか極限挙動を示すモジュライ空間をどのように扱えるか。
• RQ2 局所次元が変化し、コンパクトネスの問題を有する無限次元空間に対し、サード＝スメール型の摂動理論をどのように構築できるか。
• RQ3 このような空間における非線形フレドホルム型方程式の解集合に、分岐部分軌道的多様体とコーナーを備えた自然な幾何的構造をどのように与えることができるか。
• RQ4 ポリフォールド上のフレドホルム切断の解集合がコンパクトであり、適切に定義された積分理論を有するための条件は何か。
• RQ5 この一般化された枠組みにおいて、摂動のもとでも一貫して定義され、保存される向き付けデータは何か。

主な発見

• 強いポリフォールドバンドルの適切で横断的なフレドホルム切断の解集合は、コンパクトで分岐したコーナー付き部分軌道的多様体であり、自然に重み関数を備えている。
• フレドホルム切断が向き付け可能である場合、その線形化の行列式バンドルを介して、関連する解集合は自然な向き付けを引き継ぐ。
• ポリフォールドの任意の連結成分に対して、重み付きで解集合上への積分によって定義される、de Rhamコホホロジーへの一意な線形汎関数が存在する。
• 安定写像のポリフォールド上でのグロモフ＝ウィッテンの∂̄_J作用素は、適切で向き付けられ、ポリフォールドフレドホルム切断である。このことは、主要な応用における枠組みの妥当性を裏付ける。
• sc⁺-多重写像による摂動により、横断性が達成されるとともに、コンパクトネスとコボルディズム不変性が保たれ、不変量の構成が可能になる。