[論文レビュー] Polynomial growth for compact quantum groups, topological dimension and *-regularity of the Fourier algebra

Alessandro D’Andrea, Claudia Pinzari+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、単連結なコンパクトな簡約リー群の双対における多項式的成長に関するBanicaとVergniouxの結果を、一般のコンパクト群へと拡張し、Gelfand-Kirillov次元を通じて成長の順序と位相的次元を結びつける。さらに、Kac型のコンパクトな量子群に対して、多項式的成長がFourier代数の*-正則性を意味することを証明し、C(G)の任意の閉イデアルがA(G)と稠密に交わることを保証するとともに、A(G)が一意なC*-ノルムをもつことを示す。

ABSTRACT

Banica and Vergnioux have shown that the dual discrete quantum group of a compact simply connected Lie group has polynomial growth of order the real manifold dimension. We extend this result to a general compact group and its topological dimension, by connecting it with the Gelfand-Kirillov dimension of an algebra. Furthermore, we show that polynomial growth for a compact quantum group G of Kac type implies *-regularity of the Fourier algebra A(G), that is every closed ideal of C(G) has a dense intersection with A(G). In particular, A(G) has a unique C*-norm.

研究の動機と目的

• 単連結なコンパクトな簡約リー群の双対における多項式的成長に関するBanicaとVergniouxの結果を、任意のコンパクト群へ一般化すること。
• コンパクト群の位相的次元と関連する代数のGelfand-Kirillov次元との間の関係を確立すること。
• Kac型のコンパクトな量子群における多項式的成長が、そのFourier代数の構造に与える影響を調査すること。
• 多項式的成長がFourier代数A(G)の*-正則性を意味することを証明し、C(G)の任意の閉イデアルがA(G)と稠密に交わることを保証すること。
• A(G)の*-正則性が、Fourier代数上のC*-ノルムの一意性を意味することを示すこと。

提案手法

• Gelfand-Kirillov次元を、コンパクトな量子群に関連する代数の成長を測るための道具として用いる。
• 双対量子群の代数的包のGelfand-Kirillov次元を、対応するコンパクト群の位相的次元と関連付ける。
• 表現論的技法を用いて、Kac型の量子群の文脈におけるFourier代数A(G)の構造を分析する。
• 双対離散量子群の多項式的成長とA(G)の正則性性質との間の関係を確立する。
• C(G)におけるイデアル論的議論を用いて、多項式的成長の条件下でA(G)との稠密交差が成立することを示す。
• Kac性質を活用してFourier代数における対称性を保証し、*-正則性およびC*-ノルムの一意性の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac型のコンパクトな量子群の双対における多項式的成長は、そのFourier代数A(G)の*-正則性を意味するか？
• RQ2 コンパクト群の位相的次元は、関連する代数のGelfand-Kirillov次元とどのように関係するか？
• RQ3 単連結なコンパクトなリー群における多項式的成長の結果を、すべてのコンパクト群へ一般化できるか？
• RQ4 双対量子群における多項式的成長から、A(G)のどのような構造的性質が導かれるか？
• RQ5 Kac型の量子群において多項式的成長の条件下で、Fourier代数A(G)上のC*-ノルムは一意的か？

主な発見

• 任意のコンパクト群の双対離散量子群は、群の位相的次元に等しい次数の多項式的成長を示す。
• コンパクトな量子群に関連する代数のGelfand-Kirillov次元は、対応するコンパクト群の位相的次元と一致する。
• Kac型のコンパクトな量子群に対しては、多項式的成長がC(G)の任意の閉イデアルがFourier代数A(G)と稠密に交わることを意味する。
• この稠密交差性質により、Fourier代数A(G)の*-正則性が確立される。
• この*-正則性の結果として、Fourier代数A(G)は一意なC*-ノルムをもつ。
• この結果は、単連結なコンパクトなリー群に関する先行研究を、すべてのコンパクト群へ一般化するものである。