[論文レビュー] Polynomial ideals from a nonlinear viewpoint

Geraldo Botelho, Ewerton R. Torres|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 53被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多項式の合成に関して閉じている同次多項式のクラスとしての多項式両側イデアルを導入し、それらを体系的に研究する。これは、線形作用素との合成に関して閉じている古典的多項式イデアルの理論を拡張するもので、本稿の主な貢献は、テンソル安定作用素イデアルが多項式両側イデアルを生成することを確立し、絶対的和算可能作用素やコンパクト作用素の双対など、明示的な例を提示すること、およびs-テンソル安定性が望ましい閉性を示すことである。

ABSTRACT

Classes of homogeneous polynomials between Banach spaces have been studied in the last three decades from the perspective of the so-called ideal property: if a polynomial P belongs to a class Q, then the composition u o P o v of P with linear operators u and v belongs to Q as well. In an attempt to explore the nonlinearity of the subject in a more consistent way, and taking into account recent results in the field, in this paper we propose the study of classes of homogeneous polynomials that are stable under the composition with homogeneous polynomials. Some importante classes justify the study of the intermediate concept of classes of polynomials Q such that if P belongs to Q, u is a linear operator and Q is a homogeneous polynomial, then u o P o Q belongs to Q.

研究の動機と目的

• 古典的多項式イデアル理論における線形的バイアスを是正するため、同次多項式との合成に関して閉じるより非線形な枠組みを導入すること。
• 同次多項式との合成に関して閉じているクラスとしての多項式両側イデアルを定義し、それらを研究すること。
• 1つの線形多項式と1つの同次多項式との合成に関して閉じているという中間的概念としての多項式ハイパーイデアルを導入すること。
• 多重線形ハイパーイデアルと多項式ハイパー／両側イデアルとの間の関係を確立すること。
• テンソル安定作用素イデアルを用いて、新しいおよび既知のクラスを体系的に多項式両側イデアルとして構成すること。

提案手法

• 同次多項式との合成に関して閉じているクラスとしての多項式両側イデアルを定義する。
• 1つの線形多項式と1つの同次多項式との合成に関して閉じているクラスとしての多項式ハイパーイデアルを導入する。
• 多重線形ハイパーイデアルと多項式ハイパーイデアルとの間の関係を、多重線形クラスから多項式クラスを生成することによって確立する。
• 作用素イデアルがテンソル安定であれば、関連する多項式クラスはs-テンソル安定であることを証明し、これが同次多項式との合成に関する閉性を示すことになる。
• 対称化作用素と包含写像を用いて、射影対称テンソル積を全射影テンソル積に関連付ける。
• 既知の作用素イデアルのテンソル安定性に関する結果（例：絶対的和算可能、核的、積分的作用素の双対）を応用し、新しい多項式両側イデアルを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの同次多項式のクラスが任意の同次多項式との合成に関して閉じており、それらは古典的多項式イデアルとどのように異なるか？
• RQ2 多重線形ハイパーイデアルの理論を、多項式両側イデアルの設定に体系的に拡張できるか？
• RQ3 作用素イデアルにどのような条件を課すと、関連する多項式クラスが両側イデアルを形成するか？
• RQ4 古典的多項式イデアル（例：弱コンパクト、絶対的和算可能）は、新しい両側イデアル枠組みにおいてどのように振る舞うか？
• RQ5 すべてのs-テンソル安定作用素イデアルは必然的にテンソル安定であるか？その多項式両側イデアルの構成にどのような含意があるか？

主な発見

• ハイパーノイマン多項式のクラスは、最小の多項式両側イデアルであり、同時に最小の多項式ハイパーイデアルである。
• すべてのテンソル安定作用素イデアルは、合成構成 $\mathcal{I} \circ \mathcal{P}$ を用いてバナッハ多項式両側イデアルを生成する。
• 絶対的和算可能 $p$-作用素の双対 $\Pi_p^{\text{dual}}$ はテンソル安定であり、したがって多項式両側イデアルを生成する。
• 分離可能作用素のイデアル $\mathcal{S}$ およびイデアル $\overline{\mathcal{F}}^{\|\cdot\|}$, $\mathcal{N}$, $\mathcal{J}$, $\mathcal{L}_{\infty,q,\gamma}$, $\mathcal{L}_{1,q}$, $\mathcal{K}_{1,p}$, $\mathcal{J}_p^{\text{dual}}$, および $\mathcal{K}_{1,p}^{\text{sur}}$ はすべてテンソル安定であり、したがって多項式両側イデアルを生成する。
• 本稿では、すべてのテンソル安定作用素イデアルがs-テンソル安定であることを証明し、これにより $\mathcal{I} \circ \mathcal{P}$ が多項式両側イデアルであることが示され、このようなクラスを構成する一般的手法が得られる。