[論文レビュー] Polynomial of best uniform approximation to $x^{-1}$ and smoothing in two-level methods

Johannes Kraus, Panayot S. Vassilevski+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、正の区間における $x^{-1}$ の最良一様近似多項式に対する3項再帰関係を導出し、2レベル multigrid 法の最適スムージングの効率的計算を可能にする。主な貢献は、この多項式の新たなスムージング性質の証明であり、これは、安定な粗スムージング空間と組み合わせた際、異種係数を有するスカラー楕円型PDEの有限要素離散化において、対照に依存しない収束を保証する。

ABSTRACT

We derive a three-term recurrence relation for computing the polynomial of best approximation in the uniform norm to $x^{-1}$ on a finite interval with positive endpoints. As application, we consider two-level methods for scalar elliptic partial differential equation (PDE), where the relaxation on the fine grid uses the aforementioned polynomial of best approximation. Based on a new smoothing property of this polynomial smoother that we prove, combined with a proper choice of the coarse space, we obtain as a corollary, that the convergence rate of the resulting two-level method is uniform with respect to the mesh parameters, coarsening ratio and PDE coefficient variation.

研究の動機と目的

• 正の端点を持つ有限区間における $x^{-1}$ の最良一様近似多項式の効率的計算手法を開発すること。
• 実装可能性を高めるために、これらの近似多項式を構築するための3項再帰関係を確立すること。
• 最良一様近似に基づく多項式スムージングの新たなスムージング性質を証明し、2レベル法における収束のロバスト性を保証すること。
• このスムージングを用いた2レベル法が、メッシュサイズ、粗化比、係数変動に依存しない収束率を達成できることを示すこと。
• 粗スムージング空間が対照に依存しない近似性質を有する場合に、2レベル法のロバスト性を理論的に裏付けること。

提案手法

• 区間 $[-1,1]$ への問題の変換とチェビシェフ多項式の性質の活用により、$x^{-1}$ の最良一様近似多項式に対する3項再帰関係を導出する。
• $t = 2\sigma x - a$ の変換を用いて $[\lambda_{\min}, \lambda_{\max}]$ を $[-1,1]$ に写像し、$1/(t+a)$ の近似問題に還元する。
• $a>1$ のとき $1/(t-a)$ の最良近似に関する既知の結果を対称性を用いて $1/(t+a)$ に適応し、得られた多項式が最適であることを証明する。
• 抽象的な2レベル収束推定の文脈で多項式スムージングの動作を分析することにより、スムージング性質の鍵となる性質を確立する。
• チェビシェフ多項式およびその微分の表現に依存し、$\delta = a - \sqrt{a^2 - 1}$ を含む恒等式を用いる。
• 粗スムージング空間が安定性および近似性質を満たす場合、2レベル法の収束率がメッシュパラメータおよび係数変動に対して一様に有界であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の区間における $x^{-1}$ の最良一様近似多項式に対して3項再帰関係を導出できるか？
• RQ2 最良近似多項式の系列の主な解析的性質（正値性、単調減少性など）は何か？
• RQ3 最良一様近似 $x^{-1}$ を用いた多項式スムージングは、multigrid法に適した強力なスムージング性質を示すか？
• RQ4 このスムージングを用いた2レベル法は、メッシュの細分化、粗化比、係数変動に依存しない収束率を達成できるか？
• RQ5 この多項式スムージングと組み合わせた場合、どのような粗スムージング空間の条件が対照に依存しない収束を保証するか？

主な発見

• 区間 $[\lambda_{\min}, \lambda_{\max}]$ における $x^{-1}$ の最良一様近似多項式を計算するための3項再帰関係が導出され、効率的かつ安定した計算を可能にする。
• 最良近似多項式の系列が正であり、次数に関して単調に減少することが示され、収束解析に寄与する。
• 多項式スムージングの新たなスムージング性質が証明され、多項式の次数に明示的に依存し、multigridサイクルにおける誤差低減効果を保証する。
• 粗スムージング空間が強力な近似性および安定性を有する限り、2レベル法の収束率がメッシュサイズ、粗化比、PDE係数の変動に対して一様に有界であることが示された。
• 理論的収束推定は多項式の次数および固有値範囲に明示的に依存しており、スペクトル低減のためのスムージングの設計を裏付ける。
• 論文内の数値実験により、理論で予測されたロバストな収束行動が確認され、対照に依存しない性能が実証された。