[論文レビュー] Polynomial patterns in the primes

Terence Tao, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多項式に任意の定数項を許容することで、以前の結果を一般化し、素数に無限に多くの多項式的パターンが存在することを確立する。一般化されたvon Neumann定理、連結定理、Gowers一様性ノルム、およびConlon-Fox-Zhaoの密度化法を組み合わせることで、$ n \leq N $、$ m \leq M $ のようなパターンの漸近的個数を証明し、ここで $ M \approx N^{1/d} $ であり、$ m \ll \log^L n $ の条件下で正の密度部分集合に対しても拡張される。

ABSTRACT

Let $P_1,\dots,P_k \colon {\bf Z} o {\bf Z}$ be polynomials of degree at most $d$ for some $d \geq 1$, with the degree $d$ coefficients all distinct, and admissible in the sense that for every prime $p$, there exists integers $n,m$ such that $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ are all not divisible by $p$. We show that there exist infinitely many natural numbers $n,m$ such that $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ are simultaneously prime, generalizing a previous result of the authors, which was restricted to the special case $P_1(0)=\dots=P_k(0)=0$ (though it allowed for the top degree coefficients to coincide). Furthermore, we obtain an asymptotic for the number of such prime pairs $n,m$ with $n \leq N$ and $m \leq M$ with $M$ slightly less than $N^{1/d}$. Our arguments rely on four ingredients. The first is a (slightly modified) generalized von Neumann theorem of the authors, reducing matters to controlling certain averaged local Gowers norms of (suitable normalizations of) the von Mangoldt function. The second is a more recent concatenation theorem of the authors, controlling these averaged local Gowers norms by global Gowers norms. The third ingredient is the work of Green and the authors on linear equations in primes, allowing one to compute these global Gowers norms for the normalized von Mangoldt functions. Finally, we use the Conlon-Fox-Zhao densification approach to the transference principle to combine the preceding three ingredients together. In the special case $P_1(0)=\dots=P_k(0)=0$, our methods also give infinitely many $n,m$ with $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ in a specified set primes of positive relative density $δ$, with $m$ bounded by $\log^L n$ for some $L$ independent of the density $δ$. This improves slightly on a result from our previous paper, in which $L$ was allowed to depend on $δ$.

研究の動機と目的

• 多項式 $ P_i $ が最大次数 $ d $ で異なる先頭係数を持つとき、自然数 $ n, m $ が無限に多く存在し、$ n + P_1(m), \dots, n + P_k(m) $ がすべて素数であることを確立すること。
• 以前の結果が $ P_i(0) = 0 $ を要求していたのを一般化し、多項式に任意の定数項を許容すること。
• $ n \leq N $、$ m \leq M $ のようなパターンの個数に対する漸近公式を提示すること。ここで $ M $ は $ N^{1/d} $ 略小である。
• $ m $ が $ \log^L n $ で有界な正の相対密度部分集合に対しても、結果を拡張すること。ここで $ L $ は密度 $ \delta $ に依存しない。

提案手法

• 問題を、正規化されたvon Mangoldt関数の平均化された局所Gowersノルムを制御することに還元するために、一般化されたvon Neumann定理を適用する。
• これらの平均化された局所GowersノルムをグローバルGowersノルムによって制御するために、最近の連結定理を用いる。
• Greenおよび著者らの素数における線形方程式に関する研究を活用し、正規化されたvon Mangoldt関数のグローバルGowersノルムを計算する。
• 上記の要素を統合するために、Conlon-Fox-Zhaoの密度化法を用いた転送原理を適用し、単一の漸近公式を構成する。
• 前回の研究における定理A.1の修正版を用いて、擬似ランダム重み $ \nu_b $ の多項式的形の条件を検証し、必要な $ 1 + o(1) $ の挙動を保証する。
• すべての多項式差 $ P_i - P_j $ が定数でないことを保証することで、解析全体にわたる誤差項の均一性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式 $ P_i(m) $ に非ゼロ定数項がある場合でも、素数における無限に多くの多項式的パターンの存在を確立できるか？
• RQ2 $ n \leq N $、$ m \leq M $ のとき、$ M \approx N^{1/d} $ の条件下で、このような素数パターンの漸近的個数は何か？
• RQ3 $ m $ が $ \log n $ のべきで有界な正の相対密度部分集合に対しても、結果を拡張できるか？
• RQ4 この設定において、von Mangoldt関数の平均化された局所GowersノルムとグローバルGowersノルムの関係は何か？
• RQ5 擬似ランダム重み $ \nu_b $ が転送法に必要な形の条件を満たすための条件は何か？

主な発見

• 定数項が非ゼロで互いに異なる多項式 $ P_i $ に対しても、$ n + P_1(m), \dots, n + P_k(m) $ がすべて素数であるような自然数 $ n, m $ が無限に存在する。
• $ n \leq N $、$ m \leq M $ のようなパターンの個数に対する漸近公式が確立され、ここで $ M \ll N^{1/d} $ であり、主要項は局所因子 $ \beta_p $ の積で与えられる。
• 正の相対密度 $ \delta $ の素数部分集合に対し、$ m \ll \log^L n $ となるような無限に多くの $ n, m $ が得られる。ここで $ L $ は $ \delta $ に依存しない。これは、以前の結果（$ L $ が $ \delta $ に依存）を改善する。
• 連結定理のおかげで、正規化されたvon Mangoldt関数の平均化された局所GowersノルムがグローバルGowersノルムによって制御される。
• すべての非定数係数が有界で、$ P_i - P_j $ が非定数であるという仮定の下で、重み $ \nu_b $ の多項式的形の条件が検証され、主要誤差項における $ 1 + o(1) $ の挙動が保証される。
• 積 $ \prod_p \beta_p $ は絶対収束するため、漸近公式における算術的係数が確認される。