[論文レビュー] Polynomial Time Algorithms and Extended Formulations for Unit Commitment Problems

Yongpei Guan, Kai Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Electric Power System Optimization参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般の凸関数および区分線形コスト関数を伴う単一発電機器ユニットコミットメント（UC）問題に対する多項式時間アルゴリズムと拡張定式化を提示する。動的計画法と双対性理論を活用することで、凸関数の場合にO(T²)、区分線形関数の場合にO(T)の時間計算量を達成し、整数計画法を排除する整数線形プログラミングの再定式化を提供する。これにより、凸最適化による効率的な解法が可能になる。

ABSTRACT

Recently increasing penetration of renewable energy generation brings challenges for power system operators to perform efficient power generation daily scheduling, due to the intermittent nature of the renewable generation and discrete decisions of each generation unit. Among all aspects to be considered, a unit commitment polytope is fundamental and embedded in the models at different stages of power system planning and operations. In this paper, we focus on deriving polynomial time algorithms for the unit commitment problems with general convex cost function and piecewise linear cost function respectively. We refine an $\mathcal{O}(T^3)$ time, where $ T $ represents the number of time periods, algorithm for the deterministic single-generator unit commitment problem with general convex cost function and accordingly develop an extended formulation in a higher dimensional space that can provide an integral solution, in which the physical meanings of the decision variables are described. It means the original problem can be solved as a convex program instead of a mixed-integer convex program. Furthermore, for the case in which the cost function is piecewise linear, by exploring the optimality conditions, we derive more efficient algorithms for both deterministic (i.e., $\mathcal{O}(T)$ time) and stochastic (i.e., $\mathcal{O}(N)$ time, where $N$ represents the number of nodes in the stochastic scenario tree) red{single-generator} unit commitment problems. We also develop the corresponding extended formulations for both deterministic and stochastic single-generator unit commitment problems that solve the original mixed-integer linear programs as linear programs. Similarly, physical meanings of the decision variables are explored to show the insights of the new modeling approach.

研究の動機と目的

• 一般の凸コスト関数を伴う単一発電機器ユニットコミットメント（UC）問題に対する効率的な多項式時間アルゴリズムの開発。
• 混合整数計画問題を線形計画問題に変換する、整数解を保証する拡張定式化の導出。これにより、決定的および確率的UC問題の解法が可能になる。
• 凸コスト関数の場合の時間計算量をO(T³)からO(T²)に、区分線形コスト関数の場合をO(T)に削減することで、計算効率の向上。
• シナリオツリーを用いた確率的UC問題へのアプローチの拡張。ノード数Nを用いてO(N)の時間計算量を達成。
• 拡張定式化における意思決定変数の物理的解釈を提供し、モデルの解釈性を向上。

提案手法

• 一般の凸コスト関数を伴う決定的UC問題に対して、動的計画法を精緻化。経済発電最適化サブプロブレムを事前に解くことで、時間計算量をO(T³)からO(T²)に削減。
• 双対変数を用いた高次元空間における拡張定式化を提案。変数の物理的解釈を通じて整数解が保証される。
• 区分線形コスト関数の最適性条件を活用し、決定的UC問題に対して線形時間O(T)の動的計画法アルゴリズムを設計。
• シナリオツリーを有向無閉路グラフとしてモデル化し、双対分解を用いることで、確率的UC問題にO(N)時間計算量のアルゴリズムを拡張。
• 元の意思決定と双対変数を結ぶ制約を含む線形計画問題を定式化。これにより、元の混合整数計画問題と等価であることが保証される。
• 拡張定式化における意思決定変数に物理的意味を導入。例えば、シナリオベースの双対解の重み付き和として、発電量、稼働状態、起動状態を表現。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の凸コスト関数を伴う単一発電機器UC問題の時間計算量をO(T³)未満に低下させることは可能か？
• RQ2 混合整数計画法を解かずに、決定的UC問題の整数解を保証する拡張定式化を構築することは可能か？
• RQ3 コスト関数が区分線形である場合に、決定的UC問題を線形時間O(T)で解くことは可能か？
• RQ4 シナリオツリーを伴う確率的UC問題にこのアプローチを拡張可能か？その場合の時間計算量は？
• RQ5 拡張定式化は、最適性と整数性を保ちつつ、意思決定変数の物理的解釈を維持できるか？

主な発見

• 一般の凸コスト関数を伴う提案された動的計画法は、時間計算量をO(T³)からO(T²)に削減し、計算効率が顕著に向上した。
• 混合整数凸計画問題を凸計画問題に変換する拡張定式化が開発され、変数の物理的解釈を通じて整数解が保証された。
• 区分線形コスト関数の場合、決定的UC問題に対して線形時間O(T)のアルゴリズムが導出され、従来の手法を上回る性能を示した。
• 確率的UC問題に対してO(N)時間計算量のアルゴリズムが開発され、シナリオツリーのノード数Nが大きい場合のスケーラブルな解法が可能になった。
• 決定的および確率的UC問題の両方において、線形計画問題を解くことで最適な整数解が得られることを保証する拡張定式化が構築された。これにより、整数計画法の必要がなくなる。
• 拡張定式化における変数の物理的意味（例えば、発電量、稼働状態、起動状態）が明示的に導出され、モデルの解釈性と実用性が向上した。