[論文レビュー] Polynomial-Time Algorithms for Structurally Observable Graphs by Controlling Minimal Vertices

Shiyong Zhu, Jianquan Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最小限の頂点を特定・制御することにより、大規模なブールおよび離散時間ネットワークにおける構造的可観測性を達成する多項式時間アルゴリズムを導入する。相互作用有向グラフの構造的性質を活用し、二部グラフにおける最適マッチングを応用することで、センサー設置や頂点制御を最小限に抑えつつ可観測性を保証する。これにより、30ノードを超えるシステムで従来不可能とされていた問題が解決される。

ABSTRACT

The aim of this paper is to characterize an important class of marked digraphs, called structurally observable graphs (SOGs), and to solve two minimum realization problems. To begin with, by exploring structural observability of large-scale Boolean networks (LSBNs), an underlying type of SOGs is provided based on a recent observability criterion of conjunctive BNs. Besides, SOGs are also proved to have important applicability to structural observability of general discrete-time systems. Further, two minimum realization strategies are considered to induce an SOG from an arbitrarily given digraph by marking and controlling the minimal vertices, respectively. It indicates that one can induce an observable system by means of adding the minimal sensors or modifying the adjacency relation of minimal vertices. Finally, the structural observability of finite-field networks, and the minimum pinned node theorem for Boolean networks are displayed as application and simulation. The most salient superiority is that the designed algorithms are polynomial time and avoid exhaustive brute-force searches. It means that our results can be applied to deal with the observability of large-scale systems (particularly, LSBNs), whose observability analysis and the minimum controlled node theorem are known as intractable problems.

研究の動機と目的

• 大規模ブールネットワーク（LSBNs）における可観測性解析の計算的非効率性に対処すること。特に、n ≤ 30ノードを超えると従来の代数的手法が著しくスケーリング不良を示す。
• 有限時間の可観測性を構造的性質のみで保証する「構造的に可観測なグラフ（SOG）」と呼ばれるマーク付き有向グラフのクラスを特徴づけること。
• 2つの最小実現問題を解くこと：(1) 最小限の頂点をマークすることでSOGを誘導する（最小センサー設置）、(2) 最小限の頂点のインバーティングエッジを変更することでSOGを誘導する（最小制御）。
• 構造的可観測性の適用範囲を、有限体ネットワークや論理ネットワークを含む一般の離散時間システムへ拡張すること。
• ブルートフォースや指数時間の手法に代わる、スケーラブルで多項式時間の可観測性検証および制御則設計の代替手法を提供すること。

提案手法

• 本稿では、2つの主要な性質に基づいて構造的に可観測なグラフ（SOG）を定義する：(P1) タイプIの最適パス・サイクルペア（OP-CP）に属さないすべての頂点は、タイプIIのOP-CPに属する唯一の頂点によって支配されなければならない。また(P2) すべてのサイクルは特定のインネイバー条件を満たさなければならない。
• 頂点の依存関係をモデル化するため、元の有向グラフから二部グラフを構築し、最大マッチングの計算により制御に重要な頂点を同定する。
• 二部グラフにおける最大マッチングのサイズに基づく3ケース分析を導入する：|χ*M(V)|/2 = |M̄G²| の場合、|χ*M(V)|/2 < |M̄G²| の場合、および |χ*M(V)|/2 > |M̄G²| の場合。それぞれ異なる頂点制御戦略に分岐する。
• 各ケースに対して、センサーのマークまたはインエッジの変更によって、最小限の頂点を選択し、その結果得られるグラフがSOG条件を満たすように制御する。
• コアアルゴリズムは、最適マッチングとパス・サイクル分解に基づき、|M̄G| = |M̄G¹| + |M̄G²| として、制御が必要な頂点の最小数を計算する。
• 組合せ最適化に依存することで全ステップが多項式時間（O(n³）またはそれ以下）で実行可能であり、全組合せ探索を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模ブールネットワークにおける可観測性を、代数的状態空間手法の指数的複雑性を回避する形で、構造的性質に基づいて特徴づけることは可能か？
• RQ2 与えられた有向グラフにおいて、構造的可観測性を保証するために、最小でどの程度の頂点をセンサーとしてマークするか、または制御する必要があるか？
• RQ3 全組合せ探索を避けて、最小頂点集合を効率的に計算し、構造的に可観測なグラフを誘導することは可能か？
• RQ4 提案手法をブールネットワークを超えて、有限体ネットワークなどの他の離散時間システムへ一般化できるか？
• RQ5 有向グラフにどのような構造的条件が満たされれば、最小限の頂点干渉で可観測性を達成できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、従来の代数的手法のO(n2^n)の複雑性を回避し、最小センサー設置または頂点制御を識別する多項式時間の複雑性を達成する。
• SOGを誘導するために必要な制御頂点の最小数は、正確に |M̄G| = |M̄G¹| + |M̄G²| に等しく、ここで M̄G¹ および M̄G² はそれぞれタイプIおよびタイプIIの最適パス・サイクルペアに属する頂点の集合である。
• 有限体ネットワークにおいても構造的可観測性が正しく誘導され、シミュレーションによりブールネットワークにおける最小ピン留めノード定理が正当化されている。
• 本手法は90ノードを超えるシステム、例えばT細胞受容体シグナル伝達モデルに対しても適用可能であり、従来手法の実用的限界を克服している。
• 頂点制御によるSOGの構築により、すべてのサイクルが性質P2を満たし、支配されていないすべての頂点が一意に支配されることが保証され、有限時間の可観測性が達成される。
• 最大マッチングに基づく二部グラフの導出に依存することで、ブルートフォース探索を回避し、大規模システムへのスケーラビリティが保証されている。