[論文レビュー] Polystability and the Hitchin-Kobayashi correspondence

Nicholas Buchdahl, Georg Schumacher|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、コンpact Kähler多様体上の多項的安定なバンドル $E_0$ の近傍における、微分幾何的不変理論（GIT）安定性とケーラー幾何的安定性（Hitchin-Kobayashi対応）の明確な対応関係を確立する。準線形Hodge理論の手法を用いて、$E_0$ の無限小変形が $ olinebreak ext{Aut}(E_0)$ の作用のもとで（多項的）安定であるための必要十分条件を示し、近くのバンドルのモジュライ空間が、$ olinebreak ext{Aut}(E_0)$ による $ olinebreak ext{GIT商} olinebreak ext{Ψ}^{-1}(0)/ olinebreak ext{Aut}(E_0)$ と同相であり、この商が多項的安定な部分集合上でのみハウスドルフ空間であることを証明する。

ABSTRACT

Using a quasi-linear version of Hodge theory, holomorphic vector bundles in a neighbourhood of a given polystable bundle on a compact Kaehler manifold are shown to be (poly)stable if and only if their corresponding classes are (poly)stable in the sense of geometric invariant theory with respect to the linear action of the automorphism group of the bundle on its space of infinitesimal deformations.

研究の動機と目的

• ホロモルフィックベクトルバンドルの変形の文脈において、幾何的不変理論（GIT）安定性とケーラー幾何的安定性（Hitchin-Kobayashi対応）の関係を明確化すること。
• バンドル $E_0$ の近傍におけるホロモルフィックバンドルの安定性が、$H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 内のその無限小変形類のGIT安定性にちょうど一致することを示すこと。
• 商空間 $\Psi^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ と $E_0$ の近傍における同型類のバンドル空間との間に同相写像を確立すること。この商が多項的安定な部分集合上でのみハウスドルフ空間であること。
• $\operatorname{Aut}(E_0)$ の $H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 上の作用がKuranishi写像 $\Psi$ を保存することを示し、局所モジュライのGIT的解釈を可能にすること。
• Hitchin-Kobayashi対応を局所的・変形理論的枠組みに拡張し、多項的安定性が小さな変形のもとで保存されること、およびモジュライ空間が自然なハイパーケーラー構造を備えることを示すこと。

提案手法

• 微分形式の $L^2$-ノルムと $\operatorname{Aut}(E_0)$ の作用に結びつく、$H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 内の $\partial$-調和代表元を分析するための準線形Hodge理論の応用。
• Kuranishi理論を用いて、$E_0$ の近傍におけるホロモルフィックバンドルの局所モジュライ空間を、ホロモルフィック写像 $\Psi: \mathcal{N} \to H^2(X, \operatorname{End} E_0)$ の零点集合 $\Psi^{-1}(0)$ として記述すること。
• Kuranishi写像 $\Psi$ が $\partial$-調和代表元上の $\operatorname{Aut}(E_0)$ の作用に関して等変であることを示し、GITとの整合性を保証すること。
• Hitchin-Kobayashi対応を用いて、バンドル $E_\alpha$ の安定性とその変形類 $\alpha \in \Psi^{-1}(0)$ のGIT安定性を同一視すること。
• 商空間 $\Psi^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ と $E_0$ の近傍におけるバンドルの同型類の空間との間に、両者に商位相を入れたときの同相写像を確立すること。
• Kempf-Ness定理を適用して、GIT商をシンプレクティック商として解釈し、複素幾何とモーメントマップ理論を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項的安定バンドル $E_0$ の近傍におけるホロモルフィックベクトルバンドルの安定性は、$H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 内のその無限小変形類のGIT安定性とどのように関係するか？
• RQ2 ホロモルフィックバンドルの局所モジュライ空間は、商 $\Psi^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ として記述可能か？ また、この商は多項的安定な部分集合上でのみハウスドルフ空間か？
• RQ3 $\operatorname{Aut}(E_0)$ の作用がKuranishi写像 $\Psi$ をどの程度保存するか？ そして、この性質が局所変形のGIT的解釈を可能にするか？
• RQ4 半安定バンドルのSeshadriフィルトレーションと、GIT的意味での軌道の閉包との関係は何か？ 特に、閉包に多項的安定な点が含まれる場合にどうなるか？
• RQ5 バンドル $E_0$ にHermite-Einstein接続が存在する場合、Kuranishi写像 $\Psi$ が $\operatorname{Aut}(E_0)$-等変であることを保証し、変形空間が安定性を保存することの根拠は何か？

主な発見

• Kuranishi写像 $\Psi: \mathcal{N} \to H^2(X, \operatorname{End} E_0)$ は、$H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 内の $\partial$-調和代表元上の $\operatorname{Aut}(E_0)$ の作用に関して等変であり、群作用との整合性を保証する。
• 適切に制限された $\mathcal{N}$ の下で、$\Psi^{-1}(0)$ に属する点に対応する任意のホロモルフィックバンドル $E$ は半安定であり、任意の不安定化部分層は部分バンドルである。
• $E_0$ の近傍における同型類のホロモルフィックバンドルの空間は、集合論的商 $\Psi^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ と1対1に対応し、両者に商位相を入れたとき、この対応は同相写像である。
• 商 $\Psi^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ は、多項的安定バンドルの部分集合上でのみハウスドルフ空間であり、これは $\Psi^{-1}(0)$ 内の $\operatorname{Aut}(E_0)$-不変点に対応する。
• $\alpha \in \Psi^{-1}(0)$ が $\operatorname{Aut}(E_0)$ に関して（多項的）安定であるための必要十分条件は、対応するバンドル $E_\alpha$ がケーラー計量 $\omega$ に関して（多項的）安定であることである。これが主な対応関係を構成する。
• $\alpha$ の軌道の閉包に多項的安定な点 $\overline{\alpha}$ が含まれる場合、多項的安定バンドル $E_{\overline{\alpha}}$ は、バンドル $E$ のSeshadriフィルトレーションに付随するgradedオブジェクト $\operatorname{Gr}(E)$ と同型であり、半安定バンドルへのGITの図式を拡張する。