[論文レビュー] Polytopes and algebras of grafted trees: Stellohedra

Stefan Forcey, Marı́a Ronco+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、オペラッド理論からの組合せ論的構造であるペイントドツリー—が、特定の凸多面体、すなわちステロヘドロンと一般化パーミュートォヘドロンの面のposetの最小元に対応することを確立する。これらの面posetが片側単位を持つ階数付きホップ代数構造を備えていることを示し、順序付き二分木、非順序付き二分木、およびラベル付きコロラを用いた置換による組合せ論的体系的数え上げを通じて、面の数え上げを明らかにする。さらに、ステロヘドロンが完全グラフのグラフコンポジヘドロンの上昇として現れることを示し、それによって一般化パーミュートォヘドロンの枠組みに統合されることを示す。

ABSTRACT

Combinatorial Hopf algebras of trees exemplify the connections between operads and bialgebras. Painted trees were introduced recently as examples of how graded Hopf operads can bequeath Hopf structures upon compositions of coalgebras. We put these trees in context by exhibiting them as the minimal elements of face posets of certain convex polytopes. The full face posets themselves often possess the structure of graded Hopf algebras (with one-sided unit). We can enumerate faces using the fact that they are structure types of substitutions of combinatorial species. Species considered here include ordered and unordered binary trees and ordered lists (labeled corollas). Some of the polytopes that constitute our main results are well known in other contexts. First we see the classical permutohedra, and then certain generalized permutohedra: specifically the graph associahedra of suspensions of certain simple graphs. As an aside we show that the stellohedra also appear as liftings of generalized permutohedra: graph composihedra for complete graphs. Thus our results give examples of Hopf algebras of tubings and marked tubings of graphs. We also show an alternative associative algebra structure on the graph tubings of star graphs.

研究の動機と目的

• 特定の多面体、すなわちステロヘドロンと一般化パーミュートォヘドロンの面posetにおける最小元としてペイントドツリーを同定することにより、凸多面体の幾何的枠組みにペイントドツリーを位置づけること。
• これらの多面体の完全な面posetが片側単位を持つ階数付きホップ代数構造を備えていることを示すこと。
• 特に順序付きおよび非順序付き二分木、およびラベル付きコロラの置換を用いた組合せ論的体系的理論を用いて、これらの多面体の面を数えること。
• ステロヘドロンが完全グラフのグラフコンポジヘドロンの上昇として現れることを示すこと。
• スターダイアグラムのグラフトビングに、代替的な結合的代数構造を構成すること。

提案手法

• ペイントドツリーが、単純グラフのスパーンのグラフアソシアヘドロンやステロヘドロンなどの凸多面体の面posetにおける最小元として同定されること。
• 組合せ論的体系の理論を用いて、面構造を、順序付き二分木、非順序付き二分木、およびラベル付きコロラの体系の置換としてモデル化すること。
• これらの多面体の面posetが、片側単位を持つ階数付きホップ代数構造を備えていることを確立すること。
• 既知の一般化パーミュートォヘドロンおよびグラフアソシアヘドロンの結果を活用し、ステロヘドロンが完全グラフのグラフコンポジヘドロンの上昇であることを示すこと。
• スターダイアグラムの組合せ論的構造を活用して、そのグラフトビングに代替的な結合的代数構造を構成すること。
• オペラッドとバイアリズムの枠組みを用いて、木上の代数的構造と多面体における幾何的実現を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペイントドツリーは、ステロヘドロンやグラフアソシアヘドロンといった凸多面体の面posetとどのように関係しているか？
• RQ2 これらの多面体の面posetに階数付きホップ代数構造を導入できるか。もし可能であれば、その構造の性質は何か？
• RQ3 ステロヘドロンは、どのように一般化パーミュートォヘドロン、特に完全グラフのグラフコンポジヘドロンの上昇として現れるか？
• RQ4 組合せ論的体系と置換操作を用いて、これらの多面体の面の数え上げを体系的にどのように記述できるか？
• RQ5 スターダイアグラムのグラフトビングに、代替的な結合的代数構造は存在するか。また、それは面poset上のホップ代数構造とどのように関係するか？

主な発見

• ペイントドツリーは、単純グラフのスパーンから生じるステロヘドロンと一般化パーミュートォヘドロンの面posetにおける最小元として実現される。
• これらの多面体の完全な面posetは、片側単位を持つ階数付きホップ代数構造を自然に備えており、木上の既知のホップ代数構造を拡張する。
• 面の数え上げは、組合せ論的体系的置換を通じて達成され、面は順序付き二分木、非順序付き二分木、およびラベル付きコロラから構成される構造に対応する。
• ステロヘドロンが完全グラフのグラフコンポジヘドロンの上昇として示され、一般化パーミュートォヘドロンの広範な枠組みに統合されることを示した。
• スターダイアグラムのグラフトビングに、代替的な結合的代数構造が構成され、このクラスのグラフトビングのための新しい代数的実現が得られた。
• 結果として、組合せ論的体系とグラフグラフトビングが、主要な多面体の面posetの背後にある構造を規定することを示し、オペラッド的、バイアリズム的、多面体的構造を統合した。