[論文レビュー] Pontryagin algebras of some moment-angle-complexes

Yakov Veryovkin|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、五角形または六角形の境界である $ \mathcal{K} $ のとき、モーメント・アングル複体 $ \mathcal{Z}_\mathcal{K} $ のポントリャーギン代数 $ H_*(\Omega\mathcal{Z}_\mathcal{K}) $ を計算し、それが一関係子代数であることを示している。生成子の間の明示的な単一関係は、$ \mu_i $ の反復ホイットヘッド積を用いた自由テンソル代数上で得られ、McGavranの結果（$ \mathcal{Z}_\mathcal{K} $ が球面積の連結和として同相である）のホモトピー論的証明がなされる。

ABSTRACT

We consider the problem of describing the Pontryagin algebra (loop homology) of moment-angle complexes and manifolds. The moment-angle complex Z_K is a cell complex built of products of polydiscs and tori parametrised by simplices in a finite simplicial complex K. It has a natural torus action and plays an important role in toric topology. In the case when K is a triangulation of a sphere, Z_K is a topological manifold, which has interesting geometric structures. Generators of the Pontryagin algebra H_*(ΩZ_K) when K is a flag complex have been described in the work of Grbic, Panov, Theriault and Wu. Describing relations is often a difficult problem, even when K has a few vertices. Here we describe these relations in the case when K is the boundary of a pentagon or a hexagon. In this case, it is known that Z_K is a connected sum of products of spheres with two spheres in each product. Therefore H_*(ΩZ_K) is a one-relator algebra and we describe this one relation explicitly, therefore giving a new homotopy-theoretical proof of McGavran's result. An interesting feature of our relation is that it includes iterated Whitehead products which vanish under the Hurewicz homomorphism. Therefore, the form of this relation cannot be deduced solely from the result of McGavran.

研究の動機と目的

• モーメント・アングル複体に対して $ \mathcal{K} $ が五角形または六角形の境界であるときのポントリャーギン代数 $ H_*(\Omega\mathcal{Z}_\mathcal{K}) $ を記述すること。
• McGavranの結果、すなわち $ \mathcal{Z}_\mathcal{K} $ が球面積の連結和として同相であるという事実のホモトピー論的証明を提供すること。
• ポントリャーギン代数における単一の定義関係を同定すること。この関係は、ホイットヘッドホモロジー・ホモロジー下で消える反復ホイットヘッド積を含む。
• この関係がホモロジー的データのみからは導けないことを示し、高次ホモトピー作用の重要性を強調すること。

提案手法

• フラッグ複体に対して成り立つ同型 $ H_*(\Omega(\mathbb{C}P^\infty)^\mathcal{K}) \cong T\langle\mu_1,\dots,\mu_m\rangle / (\mu_i^2=0, \mu_i\mu_j + \mu_j\mu_i = 0 \text{ if } \{i,j\} \in \mathcal{K}) $ を用いる。
• 定理2.4を適用して、$ H_*(\Omega\mathcal{Z}_\mathcal{K}) $ の乗法的生成子を $ \mu_i $ の反復交換子とし、特定のインデックス条件を満たすものとして同定する。
• $ \alpha_i, \beta_j, \gamma_k, \delta_l $ のすべての生成子をテンソル代数 $ T\langle\mu_1,\dots,\mu_6\rangle $ 内の反復交換子として表現し、標準形に簡約する。
• すべての交換子を展開し、係数を0に等置することで線形方程式系を導出し、[WM] を用いた計算代数により解く。
• 度数6の要素の符号付き交換子の和としての主要関係式 (4.1) を構成する。この関係には9個の $ \alpha_i $、8個の $ \beta_j $、9個の $ \gamma_k $、8個の $ \delta_l $ が含まれ、符号は $ \sigma_j $ によって定まる。
• 関係式がホモトピー同値 $ (S^3 \times S^5)^{\#9} \# (S^4 \times S^4)^{\#8} \to \mathcal{Z}_\mathcal{K} $ を誘導することを示し、一関係子構造が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathcal{K} $ が五角形または六角形の境界であるとき、ポントリャーギン代数 $ H_*(\Omega\mathcal{Z}_\mathcal{K}) $ の完全な提示は何か？
• RQ2 ポントリャーギン代数の構造から、$ \mathcal{Z}_\mathcal{K} $ が球面積の連結和として同相であるというホモトピー型を回復できるか？
• RQ3 ポントリャーギン代数における単一の定義関係の明示的形は何か？ そして、反復ホイットヘッド積がどのように関与しているか？
• RQ4 なぜこの関係はホイットヘッド像から導けないのか？ そして、これは高次ホモトピー作用の役割に何を示唆するか？
• RQ5 ループ空間ホモロジーの代数的構造は、$ \mathcal{Z}_\mathcal{K} $ のホモトピー型を再構成するためにどのように利用できるか？

主な発見

• $ \mathcal{K} = \partial\text{pentagon} $ または $ \partial\text{hexagon} $ のとき、ポントリャーギン代数 $ H_*(\Omega\mathcal{Z}_\mathcal{K}) $ は、$ \mu_i $ 生成子の反復交換子の間の単一の定義関係を持つ一関係子代数である。
• 定義関係は式 (4.1) で与えられ、度数6の要素の17個の符号付き交換子の和であり、9個の $ \alpha_i $、8個の $ \beta_j $、9個の $ \gamma_k $、8個の $ \delta_l $ を含み、符号 $ \sigma_j $ が指定されている。
• 関係は、$ \mu_i $ の20重にネストされた交換子を含む長大な式 (4.1) と同値であり、これはテンソル代数内で消える。
• $ \alpha_i, \beta_j, \gamma_k, \delta_l $ の生成子は、$ \deg \alpha_i = 2 $、$ \deg \beta_j = \deg \delta_j = 3 $、$ \deg \gamma_k = 4 $ を満たす $ \mu_i $ の反復交換子として明示的に定義される。
• 関係 (4.1) はホイットヘッド像からは導けず、関係に含まれる反復ホイットヘッド積がホイットヘッドホモロジー下で消えることから、高次ホモトピー構造が非自明であることが示唆される。
• 関係 (4.1) はホモトピー同値 $ (S^3 \times S^5)^{\#9} \# (S^4 \times S^4)^{\#8} \to \mathcal{Z}_\mathcal{K} $ を誘導し、連結和構造が確認され、McGavranの結果に対する新しいホモトピー論的証明が得られる。