[論文レビュー] Pontryagin's maximum principle and second order optimality condition for optimal control problems for the nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems in two dimensions

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系の分散最適制御について、1次および2次最適性条件を確立し、Pontryagin の最大原理を導出し、随伴系と変分解析を用いて必要および十分な2次最適性条件を証明する。主な貢献は、相分離と流体相互作用を伴う複雑で非線形的かつ非局所的な流体動力学モデルにおける最適制御の厳密な特徴付けである。

ABSTRACT

In this work, we address some optimal control problems related to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two dimensional bounded domain. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a suitable cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations. We describe the first order necessary conditions of optimality via Pontryagin minimum principle and prove second order necessary and sufficient conditions of optimality for the problem.

研究の動機と目的

• 2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系の分散最適制御問題を定式化すること。
• Pontryagin の最大原理を用いて1次必要最適性条件を導出すること。
• 最適制御問題の2次必要および十分最適性条件を確立すること。
• 随伴系の構造を分析し、最適制御の特徴付けにおけるその役割を明らかにすること。
• 非局所的・非線形的・滑らかでない流体-相相互作用モデルにおける最適制御の厳密な数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 有界な2次元領域における非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 方程式に従う、二次的コスト関数 functional を最小化する分散最適制御問題を定式化する。
• 状態変数（速度、濃度、化学ポテンシャル）のための随伴系を用いて、Pontryagin の最大原理を適用し、1次必要最適性条件を導出する。
• ヒルベルト空間設定において、部分積分を用いて状態変数のための随伴系を導入し、変分恒等式を導出する。
• 最適制御のまわりでのコスト関数の2次展開を適用し、ラグランジアンのヘッセ行列を含む2次十分条件を導出する。
• 非局所項 (J∗ϕ) および Korteweg 力 (µ∇ϕ) の構造を用いて、随伴方程式の正則性および適切な定義を分析する。
• 2次十分条件と制御空間における縮小ヘッセ行列の強い凸性との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系の分散最適制御における1次必要最適性条件は何か？
• RQ2 この非局所的・非線形的 PDE 系に対して、2次必要および十分最適性条件をどのように導出できるか？
• RQ3 非局所相互作用カーネル J は、随伴系および最適性条件の構造にどのような役割を果たすか？
• RQ4 Korteweg 力 (µ∇ϕ) の存在が、最適性系の正則性および可解性に与える影響は何か？
• RQ5 2次十分条件は、ラグランジアンのヘッセ行列および制御空間の幾何構造を用いて表現可能か？

主な発見

• 本稿は、可変粘性および移動度を伴う非局所 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系に対して、一意な弱解の存在を証明し、先行研究を非局所ケースに拡張する。
• Pontryagin の最大原理を用いて1次必要最適性条件を導出し、最適制御が随伴状態を含む変分不等式を満たすことを示す。
• ラグランジアンの2次変動を分析し、制御方向におけるヘッセ行列の非負性を要請することで、2次必要条件を確立する。
• 2次変動が厳密に正定値であれば、制御が局所的に最適であることを示すことで、2次十分条件を証明する。
• 解析により、最適制御トリプレット (u*, ϕ*, U*) が随伴変数 (p, η) を含む変分不等式を満たし、許容集合内での摂動においてコスト関数が増加することを確認する。
• カーネル J、二重井戸ポテンシャル F、および移動度・粘性関数に関する標準的仮定の下で、結果が有効であり、随伴方程式における非局所項 (J∗ϕ) は畳み込み構造を用いて取り扱われる。