[論文レビュー] Pontryagin-Thom type construction for negative codimensional singular maps

Boldizsár Kalmár|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、−1余次元の折りたたみ写像に対して、Pontryagin-Thom型の構成を発展させ、余次元が負である場合のcobordismおよびbordism理論を、向き付けられた(n+1)-多様体からn多様体への写像へと拡張する。正の余次元における特異写像の類似結果を確立し、幾何的およびホモトピー的不変量を用いた、このような折りたたみ写像の分類のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

Abstract. We give a Pontryagin-Thom type construction for −1-codimensional fold maps. We obtain results about cobordism and bordism groups of fold maps of oriented (n + 1)-dimensional manifolds into n-dimensional manifolds in an analogous way to the Pontryagin-Thom type construction for positive codimensional singular maps. 1.

研究の動機と目的

• Pontryagin-Thom理論を、特に−1余次元の状況を含む、負の余次元の折りたたみ写像へと拡張すること。
• 向き付けられた(n+1)-多様体からn多様体への折りたたみ写像を分類するための幾何的およびホモトピー的枠組みを確立すること。
• 正の余次元の設定におけるものと類似するcobordismおよびbordism群に関する結果を導出すること。
• 既存の特異写像の構成を、負の余次元の状況へと一般化すること。
• この特定の余次元領域における折りたたみ写像の位相的不変量を理解するための体系的な手法を提供すること。

提案手法

• 古典的Pontryagin-Thom構成を、−1余次元の折りたたみ写像の設定に適応する。
• 折りたたみ写像の特異性理論を用いて、折りたたみ集合やその正規バンドルといった関連する幾何的データを定義する。
• 特異軌跡の構造とそのチューブ近傍を分析することにより、折りたたみ写像の分類空間を構成する。
• bordismおよびcobordism不変量を用いて、写像をcobordism同値関係で分類する。
• cobordism類の折りたたみ写像と、特定のThom複体への写像のホモトピー類との間の対応関係を確立する。
• 向き付けられた多様体技術を用いて、元の多様体と終域多様体の向き構造との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pontryagin-Thom構成を、特に−1余次元の状況を含む負の余次元の折りたたみ写像へとどのように一般化できるか。
• RQ2 向き付けられた(n+1)-多様体からn多様体への折りたたみ写像に対して、対応するcobordismおよびbordism群は何か。
• RQ3 負の余次元における折りたたみ写像の幾何的および位相的不変量は、正の余次元におけるものとどのように比較できるか。
• RQ4 折りたたみ特異点集合は、このような写像のcobordism類を定義する上で果たす役割は何か。
• RQ5 古典的な場合と類似する、−1余次元の折りたたみ写像のための分類空間を構成できるか。

主な発見

• −1余次元の折りたたみ写像に対して、Pontryagin-Thom型の構成が成功裏に確立され、古典的枠組みが負の余次元へと拡張された。
• 向きつけられた(n+1)-多様体からn多様体への折りたたみ写像のcobordism群は、特定のThom複体のホモトピー群と同型であることが示された。
• このような折りたたみ写像のbordism群は、余次元に依存する範囲内で、球面の安定ホモトピー群と同型であることが示された。
• この構成により、正の余次元の場合と同様に、cobordism類の幾何的実現が可能となった。
• 理論により、−1余次元の設定における折りたたみ写像のcobordismに関する完全な分類が得られた。
• 結果として、負の余次元における折りたたみ写像の特異性構造が、well-definedかつ計算可能なbordism理論を支えることが示された。