[論文レビュー] Port-Hamiltonian systems on discrete manifolds

Marko Šešlija, Jacquelien M.A. Scherpen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単体的ディラック構造を用いて離散多様体上のポート・ハミルトニアン系の幾何学的枠組みを導入し、分布定数系の構造を保存する空間離散化を可能にする。コ boundary 演算子とホッジスタ行列を用いて原始的および双対的単体複体上のコチェインをモデル化することで、エネルギー保存則やシンプレクティック性といった重要な物理的性質を保持する。波動方程式およびトレランプ方程式について、1/n の精度で離散化に成功している。

ABSTRACT

This paper offers a geometric framework for modeling port-Hamiltonian systems on discrete manifolds. The simplicial Dirac structure, capturing the topological laws of the system, is defined in terms of primal and dual cochains related by the coboundary operators. This finite-dimensional Dirac structure, as discrete analogue of the canonical Stokes-Dirac structure, allows for the formulation of finite-dimensional port-Hamiltonian systems that emulate the behaviour of the open distributed-parameter systems with Hamiltonian dynamics.

研究の動機と目的

• 分布定数系の境界エネルギー流入を伴う、内在的な系構造を保存する離散多様体上のポート・ハミルトニアン系のモデル化のための幾何学的枠組みを構築すること。
• 原始的および双対的単体複体上のコチェインを用いて、無限次元のストークス・ディラック構造の離散的類似を定義すること。
• 境界エネルギー流入を伴う分布定数系の有限次元、構造を保存する空間離散化を可能にすること。
• 数値スキームにおいてエネルギー保存則、シンプレクティック性、微分ゲージ対称性といった物理的性質の保存を保証すること。
• 波動方程式およびトレランプ方程式に対して、定量的な精度を伴って本手法を実証すること。

提案手法

• 空間領域を単体複体およびその外接球心双対複体として表現し、コチェインを用いて離散微分形式をモデル化する。
• 原始的および双対的複体上のコバウンダリー作用素として離散外微分を定義する。
• コバウンダリー作用素およびホッジスタ行列を介して接続された原始的および双対的コチェインを用いて、単体的ディラック構造を構築する。
• 離散設定における部分積分公式を保存するために、修正された双対境界作用素を導入する。
• ホッジスタ行列、コバウンダリー作用素およびトレース作用素の行列表現を用いて、有限次元ポート・ハミルトニアン系を定式化する。
• 連続ポート・ハミルトニアン構造を模倣する行列方程式を導出し、離散系の動的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布定数系をモデル化するための、離散多様体上での有限次元ディラック構造はどのように構築できるか？
• RQ2 単体的複体の文脈において、ストークス・ディラック構造の離散的類似は何か？
• RQ3 離散設定において境界条件を一貫的に組み込むにはどうすればよいか？ これによりエネルギーの流れが保存されるか？
• RQ4 得られる離散化が、エネルギー保存則やシンプレクティック性といった重要な物理的性質を保存できるか？
• RQ5 波動方程式およびトレランプ方程式に対して、提案された構造を保存する離散化の収束速度は何か？

主な発見

• 提案された単体的ディラック構造は、分布定数ポート・ハミルトニアン系の有限次元的、構造を保存する離散化を提供する。
• 本手法は、離散コチェインおよび行列作用素を用いて、有界領域上での波動方程式およびトレランプ方程式を効果的にモデル化できる。
• エネルギー保存則、シンプレクティック性、微分ゲージ対称性といった重要な物理的性質が、離散化によって保持される。
• 本手法の精度は、離散化における要素数 n に対して 1/n として定量的に評価されている。
• 離散系は、インダクタ、コンデンサ、トランスフォーマーを用いて物理的に実装可能であり、有限次元ディラック構造の非ポアソン性を反映している。
• 境界ポートを抵抗素子で終端することで安定化が達成され、パスファイテスおよび実用性が確認された。