[論文レビュー] Positive and implicit stochastic volatility simulation

William Halley, Simon J. A. Malham+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Marsagliaの極座標法およびBeasley-Springer-Moroの逆数法の新規表現と拡張を用いて、一般化ガウス分布および中心カイ二乗分布の効率的かつ正確なサンプリング手法を提案する。この手法により、外国為替市場で一般的な低自由度・平均回帰的状態においても、高い精度・安定性・効率性を有する非心カイ二乗分布のサンプリングがHestonモデルで可能になる。

ABSTRACT

The transition probability of a Cox-Ingersoll-Ross process can be represented by a non-central chi-square density. First we prove a new representation for the central chi-square density based on sums of powers of generalized Gaussian random variables. Second we prove Marsaglia's polar method extends to this distribution, providing a simple, exact, robust and efficient acceptance-rejection method for generalized Gaussian sampling and thus central chi-square sampling. Third we derive a simple, high-accuracy, robust and efficient direct inversion method for generalized Gaussian sampling based on the Beasley-Springer-Moro method. Indeed the accuracy of the approximation to the inverse cumulative distribution function is to the tenth decimal place. We then apply our methods to non-central chi-square variance sampling in the Heston model. We focus on the case when the number of degrees of freedom is small and the zero boundary is attracting and attainable, typical in foreign exchange markets. Using the additivity property of the chi-square distribution, our methods apply in all parameter regimes.

研究の動機と目的

• 分散過程の自由度が低く、ゼロの境界に到達可能な状況においても、Hestonモデルにおける確率的ボラティリティのシミュレーションの課題に対処すること。
• 中心カイ二乗分布を基盤とする一般化ガウス変量の、ロバストで効率的なサンプリング手法を開発すること。
• Marsagliaの極座標法を一般化ガウス分布に拡張し、高効率な正確な拒否採択サンプリングを可能とすること。
• Beasley-Springer-Moro近似を用いた直接逆数法により、一般化ガウス分布のサンプリングを、累積分布関数の逆関数近似精度を10進目まで達成すること。
• カイ二乗分布の加法性を活用することで、Hestonモデルのすべてのパrameter領域に適用可能な手法を確保すること。

提案手法

• 一般化ガウス確率変数の累乗の和を用いた中心カイ二乗分布密度の新規表現を導出する。
• Marsagliaの極座標法を一般化ガウス分布に拡張し、正確でロバストかつ効率的な受容棄却サンプリングを可能にする。
• Beasley-Springer-Moroアルゴリズムに基づく直接逆数法を一般化ガウス分布に適用し、逆累積分布関数の近似精度を10進目まで達成する。
• 一般化ガウス分布のサンプリング技術を応用し、Hestonモデルの分散過程に必要な非心カイ二乗変量をシミュレートする。
• カイ二乗分布の加法性を活用することで、低自由度および平均回帰的ダイナミクスを含む、Hestonモデルのすべてのパrameter領域への適用可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ガウス確率変数の累乗の和を用いて、中心カイ二乗分布密度の新規表現を導出できるか？
• RQ2 Marsagliaの極座標法は、一般化ガウス分布からの効率的かつ正確なサンプリングを可能とするようにどの程度一般化可能か？
• RQ3 Beasley-Springer-Moro法を用いることで、一般化ガウス分布の逆累積分布関数をどの程度の精度で近似できるか？
• RQ4 提案手法は、自由度が低くゼロの境界に到達可能な状況下で、Hestonモデルの非心カイ二乗変量のシミュレーションにどの程度効果的に機能するか？
• RQ5 カイ二乗分布の加法性を活用することで、Hestonモデルのすべてのパrameter領域に普遍的に適用可能な手法が構築可能か？

主な発見

• 一般化ガウス確率変数の累乗の和を用いた中心カイ二乗分布密度の新規表現が導出され、その後続のサンプリング手法の基盤が構築された。
• Marsagliaの極座標法が一般化ガウス分布に成功裏に拡張され、正確でロバストかつ効率的な受容棄却アルゴリズムが得られた。
• Beasley-Springer-Moro法が一般化ガウス分布に適応され、逆累積分布関数の近似精度が10進目まで達成された。
• 提案されたサンプリングフレームワークにより、Hestonモデルにおける非心カイ二乗変量の高精度・ロバスト・効率的シミュレーションが可能となり、特に自由度が低い領域で顕著な効果を示した。
• カイ二乗分布の加法性のおかげで、ゼロの境界が吸引的かつ到達可能である場合を含む、Hestonモデルのすべてのパrameter領域に普遍的に適用可能であることが確認された。