[論文レビュー] Positive stochastic volatility simulation

William Halley, Simon J. A. Malham+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 54被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Marsagliaの極座標法およびBeasley-Springer-Moroの逆数法の新規な表現と拡張を用いて、一般化ガウス分布および中心カイ二乗分布の効率的で正確なサンプリング手法を提案する。この手法により、外国為替市場で一般的な低自由度および平均回帰的ボラティリティの状態においても、高い精度、ロバスト性、効率性を備えた非中心カイ二乗分布のサンプリングが可能になる。

ABSTRACT

The transition probability of a Cox-Ingersoll-Ross process can be represented by a non-central chi-square density. First we prove a new representation for the central chi-square density based on sums of powers of generalized Gaussian random variables. Second we prove Marsaglia's polar method extends to this distribution, providing a simple, exact, robust and efficient acceptance-rejection method for generalized Gaussian sampling and thus central chi-square sampling. Third we derive a simple, high-accuracy, robust and efficient direct inversion method for generalized Gaussian sampling based on the Beasley-Springer-Moro method. Indeed the accuracy of the approximation to the inverse cumulative distribution function is to the tenth decimal place. We then apply our methods to non-central chi-square variance sampling in the Heston model. We focus on the case when the number of degrees of freedom is small and the zero boundary is attracting and attainable, typical in foreign exchange markets. Using the additivity property of the chi-square distribution, our methods apply in all parameter regimes.

研究の動機と目的

• 中心カイ二乗分布の密度関数を一般化ガウス確率変数の累乗の和を用いて表現すること。
• Marsagliaの極座標法を一般化ガウス分布に拡張し、正確で効率的かつ安定した受容棄却サンプリングを可能にする。
• Beasley-Springer-Moro手法を応用して、一般化ガウス分布の高精度直接逆数法を導出する。
• これらの手法をHestonモデルにおける非中心カイ二乗分布の分散サンプリングに適用し、特に自由度が小さく、ゼロが吸引的かつ到達可能な境界を持つ状態でも有効であることを検証する。
• カイ二乗分布の加法性を活用して、すべてのパrameter領域でロバストかつ効率的な手法を維持すること。

提案手法

• 一般化ガウス確率変数の累乗の和を用いて、中心カイ二乗分布の密度関数を新しい表現で導出する。
• Marsagliaの極座標法を一般化ガウス分布に拡張し、単純で正確かつロバストで効率的な受容棄却アルゴリズムを実現する。
• Beasley-Springer-Moro近似に基づく一般化ガウス分布の直接逆数法を開発し、逆累積分布関数の精度を10進目まで達成する。
• 既存の数値的逆数法を用いて、一般化ガウス分布の逆累積分布関数を高精度で近似する。
• 自由度にわたるカイ二乗分布の加法性を活用して、Hestonモデルにおける非中心カイ二乗分布のサンプリングにこれらの手法を適用する。
• 小自由度および吸引的かつ到達可能なゼロ境界を持つ状態を含む、すべてのパrameter領域で手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心カイ二乗分布の密度関数は、一般化ガウス確率変数の累乗の和で表現可能か？
• RQ2 Marsagliaの極座標法は一般化ガウス分布に拡張可能であり、効率的な受容棄却サンプリングを可能にするか？
• RQ3 Beasley-Springer-Moro手法は一般化ガウス分布に適応され、高精度な逆数法を実現可能か？
• RQ4 これらのサンプリング手法は、自由度が小さく、平均回帰的ボラティリティの状態におけるHestonモデルの非中心カイ二乗分布の分散サンプリングにどの程度有効か？
• RQ5 吸引的かつ到達可能なゼロ境界を持つ状態を含む、すべてのパrameter領域でも、提案手法はロバスト性と効率性を維持できるか？

主な発見

• 中心カイ二乗分布の密度関数は、一般化ガウス確率変数の累乗の和を用いて成功裏に表現され、新たなサンプリング手法の実現が可能になった。
• Marsagliaの極座標法を一般化ガウス分布に拡張した結果、単純で正確かつロバストで効率的な受容棄却サンプリングアルゴリズムが得られた。
• Beasley-Springer-Moroに基づく逆数法により、逆累積分布関数の近似精度が10進目まで達成された。
• 提案手法により、Hestonモデルにおける非中心カイ二乗分布のサンプリングが、特に自由度が小さい領域でも高精度、ロバスト性、効率性を兼ね備えたものとなった。
• カイ二乗分布の加法性のおかげで、吸引的かつ到達可能なゼロ境界を持つ状態を含むすべてのパrameter領域で、手法のロバスト性と効率性が維持された。