[論文レビュー] Positive and negative extensions in extriangulated categories

Mikhail Gorsky, Hiroyuki Nakaoka+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、余極限を用いて、余三角的圏における高次の正および負の拡張のヨネダ型理論を確立し、十分な射影的または投射的対象が存在する場合、これらの拡張が古典的定義（射影的／射影的分解によるもの）と一致することを証明する。負の拡張は、Hom の左導来函手として定義され、適切な条件下で普遍の δ-函手をなすことが示され、また、∞-圏的強化を用いて、位相的余三角的圏における正および負の拡張のバランスが証明される。

ABSTRACT

We initiate the study of derived functors in the setting of extriangulated categories. By using coends, we adapt Yoneda's theory of higher extensions to this framework. We show that, when there are enough projectives or enough injectives, thus defined extensions agree with the ones defined earlier via projective or injective resolutions. For categories with enough projective or enough injective morphisms, we prove that these are right derived functors of the $\operatorname{Hom}$-bifunctor in either argument. Since $\operatorname{Hom}$ is only half-exact in each argument, it is natural to expect "negative extensions", i.e. its left derived functors, to exist and not necessarily vanish. We define negative extensions with respect to the first and to the second argument and show that they give rise to universal $δ$-functors, when there are enough projective or injective morphisms, respectively. In general, they are not balanced. However, for topological extriangulated categories, the existence of a balanced version of negative extensions follows from combining the work of Klemenc on exact $\infty$-categories with results of the second and third authors. We discuss various criteria under which one has the balance of the above bifunctors on the functorial or on the numerical levels. This happens, in particular, in the cases of exact or triangulated categories, and also in the case of the category of $n$-term complexes with projective components over a finite-dimensional algebra. Given a connected sequence of functors on an extriangulated category $(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$, we determine the maximal relative extriangulated structure, with respect to which the sequence is a $δ$-functor. We also find several equivalent criteria for the existence of enough projective or injective morphisms in a given extriangulated category.

研究の動機と目的

• 余三角的圏における高次拡張のヨネダ風理論を構築し、それによって、完全圏および三角圏理論を一般化すること。
• Hom 双関手の左導来函手としての負の拡張を定義し、それらが Hom の半完全性のため、必ずしも消えるとは限らないことの研究。
• 正および負の拡張がバランスする条件を確立し、特に、完全 ∞-圏から生じる位相的余三角的圏においてそのバランスを示すこと。
• 余三角的圏における十分な射影的または投射的射の存在を、カテゴリカルな基準によって特徴付けること。

提案手法

• 余極限を用いて、余三角的圏における高次正拡張を定義し、ヨネダの元来の構成を一般化する。
• これらの余極限に基づく拡張が、両方の引数において長完全系列を満たすことを証明し、δ-函手を形成することを示す。
• C-双対および射影的崩壊を用いて負の拡張を定義し、十分な射影的または投射的射が存在する場合、それが普遍の δ-函手をなすことを示す。
• 十分な射影的または投射的対象が存在する場合、余極限に基づく拡張と、射影的／射影的分解による定義の拡張が同等であることを確立する。
• Klemenc の完全 ∞-圏の安定包の結果を応用し、位相的余三角的圏が負の拡張のバランス版を備えていることを示す。
• 欠損関手の構造を分析し、拡張の性質を証明するため、欠損の圏とその性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角圏への埋め込みに依存せずに、余三角的圏における高次拡張をどのように定義できるか？
• RQ2 負の拡張（Hom の左導来函手）が存在し、普遍の δ-函手をなすための条件は何か？
• RQ3 余三角的圏において、正および負の拡張が、関手的にも数的にもバランスする条件は何か？
• RQ4 与えられた余三角的圏において、十分な射影的または投射的射の存在を保証するカテゴリカルな基準は何か？
• RQ5 余極限に基づく拡張と、射影的／射影的分解による古典的定義との関係は何か？

主な発見

• 十分な射影的または投射的対象が存在する場合、余極限に基づく正の拡張の定義は、射影的または投射的分解による古典的定義と一致する。
• 正の拡張は両方の引数において長完全系列を満たし、この構成により、余三角的圏の正のグローバル次元が明確に定義される。
• 負の拡張は、Hom の左導来函手として存在し、十分な射影的または投射的射が存在する場合、普遍の δ-函手をなす。
• 位相的余三角的圏（完全 ∞-圏的強化を持つもの）では、Klemenc の安定包構成に従い、負の拡張のバランス版が存在する。
• 元の圏に十分な射影的射が存在する場合、余三角的圏における欠損の圏は十分な射影的対象を持つ。
• 欠損関手に対して、反射性の性質が確立され、任意の有限生成関手が、欠損関手間の射の余核として現れることを示す。