[論文レビュー] Positive and zero temperature polymer models

Nicos Georgiou|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の温度およびゼロ温度におけるポリマー・モデルの極限定理および大偏差原理を確立する。正の温度では、ポリマー経路および出口点の明示的なクエンチ型レート関数を導出し、対数ガンマ環境下で取り扱いやすい結果を得る。ゼロ温度では、不連続な速度関数をもつTASEPの流体的極限を証明し、密度分布の変分公式を用いて、スカラー保存則のエンタルピー解への収束を示す。

ABSTRACT

We present results about large deviations and laws of large numbers for various polymer related quantities. In a completely general setting and strictly positive temperature, we present results about large deviations for directed polymers in random environment. We prove quenched large deviations (and compute the rate functions explicitly) for the exit point of the polymer chain and the polymer chain itself. We also prove existence of the upper tail large deviation rate function for the logarithm of the partition function. In the case where the environment weights have certain log-gamma distributions the computations are tractable and allow us to compute the rate function explicitly. At zero temperature, the polymer model is now called a last passage model. With a particular choice of random weights, the last passage model has an equivalent representation as a particle system called Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP). We prove a hydrodynamic limit for the macroscopic particle density and current for TASEP with spatially inhomogeneous jump rates given by a speed function that may admit discontinuities. The limiting density profiles are described with a variational formula. This formula enables us to compute explicit density profiles even though we have no information about the invariant distributions of the process. In the case of a two-phase flux for which a suitable p.d.e. theory has been developed we also observe that the limit profiles are entropy solutions of the corresponding scalar conservation law with a discontinuous speed function.

研究の動機と目的

• 正の温度における確率的環境下の指向的ポリマーの極限定理を確立すること。
• 一般および特定（対数ガンマ）環境下で、ポリマー経路および出口点の明示的なクエンチ型レート関数を計算すること。
• ゼロ温度極限を分析し、ポリマー・モデルが最後到達時間パーコレーション・モデルに変わる点を検証すること。
• 空間的に不均一なジャンプレートをもつTASEPの流体的極限を導出すること。ここでジャンプレートは不連続な速度関数に従う。
• 不変測度の知識がなくても、極限的なマクロな密度および電流分布を変分公式を用いて特徴付けること。

提案手法

• クエンチ型大偏差理論を用いて、正の温度における指向的ポリマーの出口点および経路のレート関数を導出する。
• 凸双対性および下界畳み込み技術を用いて、レート関数を変分公式の形で表現する。
• 環境重みに対数ガンマ分布を適用することで、レート関数の明示的計算を可能にする。
• ゼロ温度における最後到達時間モデルを、不連続な速度関数をもつTASEPに翻訳する。
• 流体的極限の技法を用いて、粒子密度および電流が変分公式で定義される分布に収束することを示す。
• 二相流束の場合、極限的分布が不連続な流束をもつスカラー保存則のエンタルピー解条件を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指向的ポリマーの正の温度における出口点および経路のクエンチ型大偏差レート関数は何か？
• RQ2 正の温度において、分配関数の対数の上尾部における大偏差レート関数が存在することは示せるか？
• RQ3 ゼロ温度における不連続な速度関数をもつTASEPで、マクロな密度および電流分布はどのようにして出現するか？
• RQ4 不変測度の知識がなくても、TASEPの極限的密度分布を変分公式で記述できるか？
• RQ5 二相流束の場合、極限的分布は不連続な流束をもつスカラー保存則のエンタルピー解に対応するか？

主な発見

• 環境の対数ガンマ分布を含む変分公式を用いて、ポリマーの出口点のクエンチ型大偏差レート関数が明示的に計算された。
• 対数ガンマ分布をもつ環境重みの場合、ポリマー経路および出口点のレート関数は取り扱いやすく、凸双対性を用いて明示的に表現可能である。
• 正の温度において、分配関数の対数の上尾部における大偏差レート関数が存在することが示された。
• ゼロ温度極限において、不連続な速度関数をもつTASEPは、密度分布の変分公式によって記述される流体的極限を示す。
• 速度関数が区分的定数（二相流束）の場合、極限的分布が対応するスカラー保存則のエンタルピー解であることが示された。
• 極限的密度分布の変分公式により、プロセスの不変測度の知識がなくても、明示的な分布の計算が可能である。