[論文レビュー] Positive curvature, partial vanishing theorems, and coarse indices

John Roe|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、完全なリーマン多様体上のディラック作用素について、部分集合 $ Z $ の外側で正の曲率を持つ場合に、局所化された粗い指数定理を確立する。この定理により、このような作用素の粗い指数が $ C^*(Z\backslash X) $、つまり $ Z $ の近傍に台を持つ作用素の $ C^* $-代数の $ K $-理論に属することを示している。主な結果は、有限伝搬性と曲率の上限に基づく相対指数構成を用いて、グローマン＝ローワンの消滅定理を非コンパクトな設定に一般化したものである。

ABSTRACT

Let M be a complete Riemannian manifold, D a Dirac-type operator on M whose Weitzenbock curvature is uniformly positive on the complement of a subset Z of M. We show that the coarse index of D is localized to the K-theory of the coarse C*-algebra of Z. Applications are discussed, including a coarse form of the relative index theorem.

研究の動機と目的

• 正の曲率が部分集合 $ Z $ の外側に存在する場合の粗い指数に関する部分的消滅定理の詳細な証明を提供すること。
• 曲率の正性と、$ K $-理論における $ C^*(Z\backslash X) $ の $ C^* $-代数の指数の台との関係を明確にすること。
• 外側の領域 $ Z $ で曲率が一様に正であるような多様体上のディラック作用素に対して、相対指数定理を確立すること。
• 局所化された粗い指数が、大規模構造とは無関係に $ Z $ の近傍の幾何にのみ依存することを示すこと。
• 相対ホモロジー類を用いて、粗いアセンブルマップを通じて粗い指数と $ K $-ホモロジーとの関係を形式化すること。

提案手法

• ディラック作用素の関数計算、特に $ f(D) $（$ f $ が $ (-a,a) $ に compact に台を持つ関数）を解析するため、有限伝搬速度法を用いる。
• Weitzenböck 公式 $ D^2 = \nabla^*\nabla + R_D $ を適用し、$ R_D $ を曲率自己準同型とし、$ Z $ の外側で $ R_D \geq a^2 I $ であると仮定する。
• $ D^*(X)/C^*(X) $ の $ K $-理論完全列における境界写像を用いて、局所化された粗い指数 $ \operatorname{Index}_Z(D) \in K_j(C^*(Z\subseteq X)) $ を定義する。ここで $ C^*(Z\subseteq X) $ は理想として扱う。
• 曲率が $ Z $ の外で一様に正であるような、$ Z $ の外で一致する2つの多様体のペア $ (M_1, M_2) $ のための引き戻し $ C^* $-代数 $ A $ を導入し、$ K_j(C^*(Z)) $ における相対指数の定義を可能にする。
• 短完全列の分解を用いて $ K_j(A) $ を直和に分解し、相対指数を局所化された指数の差として分離する。
• 粗いアセンブルマップ $ A: K_*(Z) \to K_*(C^*(Z)) $ を用いて、相対指数が $ K_*(Z) $ の相対ホモロジー類の像であることを示し、局所幾何に依存する不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の曲率が部分集合 $ Z $ の外側に存在する場合、$ K $-理論における粗い指数の台にどのような影響を与えるか？
• RQ2 曲率が $ Z $ の外側で一様に正であるとき、ディラック作用素の粗い指数を $ Z $ に局所化できるか？
• RQ3 局所化された粗い指数と $ K $-理論における相対指数との正確な関係は何か？
• RQ4 相対指数は、不一致領域の近傍の幾何にのみ依存するのか、それとも大域的構造にも依存するか？
• RQ5 粗いアセンブルマップは、相対ホモロジー類と $ C^*(Z) $ の $ K $-理論とをどのように結びつけるか？

主な発見

• 曲率自己準同型 $ R_D $ がすべての $ x \notin Z $ に対して $ R_D \geq a^2 I $ を満たすならば、すべての $ f \in C_c(-a,a) $ に対して $ f(D) \in C^*(Z\subseteq X) $ である。これは、局所化された指数が $ K_j(C^*(Z\subseteq X)) $ に属することを示唆する。
• 粗い指数 $ \operatorname{Index}(D) \in K_j(C^*(X)) $ は $ \operatorname{Index}_Z(D) \in K_j(C^*(Z\subseteq X)) $ を通じて因数分解され、正の曲率のもとで指数が $ Z $ の近傍に集中することを示している。
• 相対指数 $ \operatorname{Index}_r(D_1,D_2) \in K_j(C^*(Z)) $ は、$ K_j(A) $ の直和分解における $ \operatorname{Index}_Z(D_1) - \operatorname{Index}_Z(D_2) $ の成分として定義され、$ Z_1 $ および $ Z_2 $ の近傍の幾何にのみ依存する。
• 相対指数は、$ K_*(Z) $ の相対ホモロジー類の像として粗いアセンブルマップの下に現れ、これは不一致領域の局所幾何にのみ依存する。
• $ Z $ がコンパクトである場合、$ C^*(Z\subseteq X) $ はコンパクト作用素と同型であり、局所化された指数は古典的なフレドホルム指数を回復する。これはグローマン＝ローワンの消滅定理を一般化する。
• $ \chi^2 - 1 $ が $ (-a,a) $ に台を持つような任意の正規化関数 $ \chi $ に対して、$ \chi(D) $ が $ C^*(Z\subseteq X) $ をモジュロで適切に定義される対合を定義することを保証する。