[論文レビュー] Positive Definiteness and Semi-Definiteness of Even Order Symmetric Cauchy Tensors

Haibin Chen, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|May 25, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、偶数次対称カウチー代数的テンソルの正定値性および半正定値性の必要十分条件を確立し、その生成ベクトルが正であることと、そのテンソルが半正定値であることが同値であり、生成ベクトルの成分が正かつ相異なることと、そのテンソルが正定値であることが同値であることを証明している。これらの結果は、Fiedlerの対称カウチー行列に関する研究を拡張し、スペクトル的性質（同次多項式の単調性およびハダマード積における閉包性）を提供する。

ABSTRACT

Motivated by symmetric Cauchy matrices, we define symmetric Cauchy tensors and their generating vectors in this paper. Hilbert tensors are symmetric Cauchy tensors. An even order symmetric Cauchy tensor is positive semi-definite if and only if its generating vector is positive. An even order symmetric Cauchy tensor is positive definite if and only if its generating vector has positive and mutually distinct entries. This extends Fiedler's result for symmetric Cauchy matrices to symmetric Cauchy tensors. Then, it is proven that the positive semi-definiteness character of an even order symmetric Cauchy tensor can be equivalently checked by the monotone increasing property of a homogeneous polynomial related to the Cauchy tensor. The homogeneous polynomial is strictly monotone increasing in the nonnegative orthant of the Euclidean space when the even order symmetric Cauchy tensor is positive definite. Furthermore, we prove that the Hadamard product of two positive semi-definite (positive definite respectively) symmetric Cauchy tensors is a positive semi-definite (positive definite respectively) tensor, which can be generalized to the Hadamard product of finitely many positive semi-definite (positive definite respectively) symmetric Cauchy tensors. At last, bounds of the largest H-eigenvalue of a positive semi-definite symmetric Cauchy tensor are given and several spectral properties on Z-eigenvalues of odd order symmetric Cauchy tensors are shown. Further questions on Cauchy tensors are raised.

研究の動機と目的

• 対称カウチー行列に関するFiedlerの結果を、高次元の対称カウチー代数的テンソルへと拡張すること。
• 偶数次対称カウチー代数的テンソルの半正定値性および正定値性を、その生成ベクトルを用いて特徴付けること。
• 同次多項式の単調性および固有値の振る舞いを含むスペクトル的性質を調査すること。
• 半正定値および正定値のカウチー代数的テンソルがハダマード積に関して閉じているかどうかを検討すること。
• 奇数次対称カウチー代数的テンソルのZ固有値の性質を検討すること。

提案手法

• 生成ベクトル $ c \in \mathbb{R}^n $ を用いて偶数次対称カウチー代数的テンソルを定義し、成分を $ c_{i_1\cdots i_m} = \frac{1}{c_{i_1} + \cdots + c_{i_m}} $ とし、分母がすべて非ゼロであることを仮定する。
• 偶数次対称カウチー代数的テンソルが半正定値であるための必要十分条件が、その生成ベクトルが正であることであることを証明する。
• そのテンソルが正定値であるための必要十分条件が、生成ベクトルの成分が正かつ相異なることであることを確立する。
• 半正定値性が、非負の象限における同次多項式の単調増加性と同値であることを示す。
• 有限個の半正定値（または正定値）対称カウチー代数的テンソルのハダマード積が、依然として半正定値（または正定値）であることを示す。
• Z固有値の積分表現を用いてスペクトル的性質を分析し、H固有値に関する不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次対称カウチー代数的テンソルが半正定値であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 偶数次対称カウチー代数的テンソルが正定値であるための条件は何か？
• RQ3 関連する同次多項式の単調性は、テンソルの定値性とどのように関係するか？
• RQ4 半正定値対称カウチー代数的テンソルのハダマード積は、やはり半正定値であるか？
• RQ5 奇数次対称カウチー代数的テンソルのZ固有値のスペクトル的性質は何か？

主な発見

• 偶数次対称カウチー代数的テンソルは、その生成ベクトルが正であることと、そのテンソルが半正定値であることとが同値である。
• 偶数次対称カウチー代数的テンソルは、その生成ベクトルの成分が正かつ相異なることと、そのテンソルが正定値であることとが同値である。
• 偶数次対称カウチー代数的テンソルの半正定値性は、そのテンソルに関連する同次多項式が非負の象限で単調増加であることと同値である。
• テンソルが正定値である場合、その関連する同次多項式は非負の象限で厳密に単調増加である。
• 有限個の半正定値（それぞれ正定値）対称カウチー代数的テンソルのハダマード積は、自身も半正定値（それぞれ正定値）である。
• 正の生成ベクトルをもつ奇数次対称カウチー代数的テンソルについて、任意の正のZ固有値は非負のZ固有ベクトルに対応し、任意の負のZ固有値は非正のZ固有ベクトルに対応する。