[論文レビュー] Positive Invariance Lemmas for Control Problems with Convergence to Lyapunov-unstable Sets

Alexander N. Gorban, Ivan Tyukin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2009

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 32被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、不安定な不変集合を有するシステムにおける正の不変性、有界性、収束性のためのリャプノフに類する特徴付けを導入し、安定部分系と1次元の不安定または臨界的に安定な部分系を有するクラスに焦点を当てる。入力に依存しない簡単な基準を確立し、有界解や有限時間内に発散する初期条件の領域を特定する。非線形出力制御および適応制御問題への応用に向けた新規な枠組みを提供するが、収縮率や入出力利得の仮定は不要である。

ABSTRACT

We provide Lyapunov-like characterizations of positive invariance, boundedness and convergence of non-trivial solutions for a class of systems with unstable invariant sets. The systems of this class comprise of a stable part coupled with a one-dimensional unstable or critically stable subsystem. Examples of these systems appear in the problems of nonlinear output regulation, parameter estimation and adaptive control. We demonstrate that, for a large class of systems with unstable equilibria and solutions that might escape to infinity in finite time, it is always possible to determine simple criteria for positive invariance and boundedness of the system’s nontrivial solutions. Conversely, it is possible to characterize domains of initial conditions that lead to solutions escaping from the origin. In contrast to other works addressing convergence issues in unstable systems, our results do not rely on the availability of input-output gains or contraction rates that are usually required for the stable compartment.

研究の動機と目的

• 不安定な不変集合を有する制御システムにおける収束性および有界性を扱う。特に、解が有限時間内に無限大へ発散する可能性がある場合を含む。
• 安定成分と1次元の不安定または臨界的に安定な部分系を有するシステムにおいて、非自明な解の正の不変性および有界性の基準を構築すること。
• 原点から発散する解を引き起こす初期条件の集合を特徴付ける。これは、吸引域に類する解析を可能にする。
• 従来の安定性ツールが不安定な均衡点のため機能しない非線形出力制御、パラメータ推定、適応制御の分野に適用可能な枠組みを提供すること。
• 先行研究で一般的に用いられる収縮率や入出力利得の仮定を排除するため、新規で構造が最小限のアプローチを導入すること。

提案手法

• 安定部分系と1次元の不安定または臨界的に安定な成分を有するシステムの構造に適合したリャプノフに類する関数の構築に依存する。
• システムを安定部と不安定部に分解し、それぞれの成分における力学的挙動を別々に分析可能にする。
• 比較原理および微分不等式を用いて解の挙動（特に発散時間と有界性）を分析する。
• 不安定部が1次元であるクラスのシステムを定義し、解軌道の明示的特徴付けを可能にする。
• システムの内在的構造と不安定集合近傍における解の挙動に注目することで、収縮率や入出力利得の要請を回避する。
• 不安定部分系の力学的挙動の符号および成長性に基づいた、正の不変性および有界性の十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不安定な不変集合を有するシステムにおいて、有限時間内に無限大へ発散する初期条件の集合を特徴づけることは可能か？
• RQ2 不安定な均衡点が存在する中で、非自明な解が有界でありかつ正の不変性を保つために必要な条件は何か？
• RQ3 安定部分系において一般的に要求される入出力利得や収縮率の仮定なしに、有界性および不変性の基準を確立するにはどうすればよいか？
• RQ4 リャプノフに類するツールは、不安定な不変集合を有するシステムにどの程度適合可能か？
• RQ5 非線形出力制御や適応制御に現れるような、特定のクラスのシステムにおいて、このような基準はどの程度効果的に適用可能か？

主な発見

• 安定部分系と1次元の不安定または臨界的に安定な部分系を有する広範なクラスのシステムに対して、収縮率や入出力利得の仮定なしに、正の不変性および有界性のための簡単な基準を導出可能であることを確立した。
• 有限時間内に発散する初期条件の領域を完全に特徴づけることができ、不安定なシステムにおける正確な吸引域解析を可能にする。
• 非線形出力制御、パラメータ推定、適応制御といった実世界の制御問題に適用可能であり、不安定な均衡点が一般的に現れる分野に適している。
• システムの均衡点がリャプノフ不安定であっても、不変集合を同定可能であり、古典的な不変性理論を拡張する。
• 有限時間内に発散する可能性がある解を効果的に扱い、そのような挙動を体系的に分析・制限する手法を提供する。
• 入出力利得や収縮率に関する仮定がないため、従来の手法よりも広範に適用可能な不安定システム解析のアプローチとなっている。