[論文レビュー] Positive Lyapunov exponents for symplectic cocycles

Mário Bessa, Paulo Varandas|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非一様的に双曲的である微分同相写像上での Hölder連続なシンプレクティックなコサイクルの、開かつ稠密な集合に対して、すべての局所積構造をもつ不変エルゴード測度が非ゼロのリャプノフ指数を持つことを確立している。この結果は、摂動技法と局所積構造の性質を用いて、シンプレクティック力学系における正のリャプノフ指数の一般存在を証明することにより、Vianaの予想を裏付けるものである。

ABSTRACT

In the present paper we give a positive answer to a question posed by Viana on the existence of positive Lyapunov exponents for symplectic cocycles. Actually, we prove that for an open and dense set of Holder symplectic cocycles over a non-uniformly hyperbolic diffeomorphism there are non-zero Lyapunov exponents with respect to any invariant ergodic measure with the local product structure.

研究の動機と目的

• シンプレクティックコサイクルにおける正のリャプノフ指数の一般存在に関するVianaの予想を解消すること。
• 弱い正則性および双曲的条件のもとで、シンプレクティック系における非ゼロのリャプノフ指数が一般的に成立することを確立すること。
• 局所積構造をもつエルゴード測度を用いて、非一様的に双曲的な微分同相写像上でのシンプレクティックコサイクルの力学的挙動を分析すること。
• 正のリャプノフ指数が例外的性質ではなく、Hölder位相において一般に成立することを示すこと。

提案手法

• Hölder位相における摂動論を用いて、非ゼロのリャプノフ指数をもつシンプレクティックコサイクルを構成する。
• 不変測度の局所積構造理論を適用して、リャプノフスペクトルにおける双曲的および正則性を保証する。
• Oseledetsの乗法的エルゴード定理を用いて、コサイクル力学のもとでのベクトルノルムの成長率を分析する。
• Hölderシンプレクティックコサイクル空間において、正のリャプノフ指数をもつコサイクルの集合が開かつ稠密であることに依拠する。
• シンプレクティック構造を用いてリャプノフスペクトルを制約し、正の指数が符号が反対のペアとして現れることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様的に双曲的な微分同相写像上での一般なHölder連続シンプレクティックコサイクルは、局所積構造をもつ不変エルゴード測度に対して非ゼロのリャプノフ指数をもつか？
• RQ2 正のリャプノフ指数をもつシンプレクティックコサイクルの集合は、Hölder位相において開かつ稠密か？
• RQ3 弱い正則性仮定のもとで、このようなすべての不変測度に対してリャプノフ指数の正の性質を保証できるか？
• RQ4 不変測度の局所積構造は、シンプレクティック系におけるリャプノフ指数スペクトルにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 非一様的に双曲的な微分同相写像上でのHölder連続シンプレクティックコサイクルの開かつ稠密な部分集合に対して、すべての局所積構造をもつ不変エルゴード測度が非ゼロのリャプノフ指数をもつ。
• 正のリャプノフ指数の存在はHölder位相において一般的であり、Vianaの予想が裏付けられた。
• この結果は、局所積構造をもつすべての不変エルゴード測度に一様に成立し、非一様的に双曲的な系において重要な性質である。
• シンプレクティック構造により、リャプノフ指数は符号が反対のペアとして現れるが、一般性の結果から正の指数が一般的に成立することが示唆される。