[論文レビュー] Positive Mass Theorem on Manifolds admitting Corners along a Hypersurface

Pengzi Miao|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、超曲面 $\Sigma$ を境に $C^2$ だが $C^1$ でない計量をもつ漸近的に平坦なリーマン多様体に対して、正質量定理を確立する。具体的には、内部領域における $\Sigma$ の平均曲率が外部領域におけるそれ以上である場合、全質量が非負であることを証明する。主な結果は、質量がゼロならば計量が至る所で平坦であり、$\Sigma$ を境に滑らかに一致することを示し、スホーンとヨウの古典的結果を滑らかでない設定に拡張する。

ABSTRACT

We study a class of non-smooth asymptotically flat manifolds on which metrics fails to be $C^1$ across a hypersurface $Σ$. We first give an approximation scheme to mollify the metric, then we prove that the Positive Mass Theorem still holds on these manifolds if a geometric boundary condition is satisfied by metrics separated by $Σ$.

研究の動機と目的

• 計量が超曲面 $\Sigma$ を境に $C^1$ でない非滑らか多様体への正質量定理の拡張を図ること。
• このような非滑らか設定で正質量定理が成立するための幾何的境界条件を同定すること、特に $H(\Sigma, g_-) \geq H(\Sigma, g_+)$ である。
• 質量ゼロの場合の剛性を調査し、三次元において質量がゼロならば計量が平坦であり、$\Sigma$ を境に滑らかに一致することを示すこと。
• バートニクの準局所質量予想に関連づけ、最小質量拡張が導出された境界条件を満たすことを示すこと。

提案手法

• 非滑らか計量 $\mathcal{G} = (g_-, g_+)$ を、$\Sigma$ を除いて $C^2$ 収束する滑らかな計量 $\tilde{g}_\delta$ で近似するためのモリフィケーションスキームを構築する。
• モリフィケーションされた計量 $\tilde{g}_\delta$ に古典的正質量定理を適用し、それらの質量が $\mathcal{G}$ の質量に収束することを示す。
• 共形ラプラシアン方程式の解を用いた共形変形により、$g_-$ をスカラー曲率がゼロになるように変形し、平均曲率の不等式を保つ。
• 強い最大原理を用いて、共形因子が内部領域における $\Sigma$ の平均曲率を増加させることを示し、質量がゼロの場合に矛盾を導く。
• 共形因子の漸近的挙動を解析し、変形計量の質量と元の質量との関係を特定することで、非負性を証明する。
• ブレイとフィンスターの滑らかな計量による近似に関する結果を応用し、質量がゼロならば両領域で平坦であり、$\Sigma$ をはさんで第二基本形式が一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量が超曲面 $\Sigma$ をはさんで $C^1$ でない多様体に対し、正質量定理を拡張することは可能か？
• RQ2 このような非滑らか設定において、全質量が非負であるために必要な、$\Sigma$ の両領域における平均曲率の幾何的条件は何か？
• RQ3 全質量がゼロならば、計量が平坦であり、$\Sigma$ をはさんで滑らかに一致するか？
• RQ4 境界条件 $H(\Sigma, g_-) \geq H(\Sigma, g_+)$ は、$\Sigma$ をはさんでスカラー曲率の分布的非負性とどのように関係するか？
• RQ5 この結果は、バートニクの準局所質量予想における最小質量拡張を特徴づけるのに利用可能か？

主な発見

• 計量 $\mathcal{G} = (g_-, g_+)$ の全質量は、内部領域における $\Sigma$ の平均曲率が外部領域におけるそれ以上である、すなわち $H(\Sigma, g_-) \geq H(\Sigma, g_+)$ ならば非負である。
• もし $\Sigma$ 上の任意の点で $H(\Sigma, g_-) > H(\Sigma, g_+)$ ならば、質量は厳密に正である。
• 次元 $n=3$ において、質量がゼロならば、$g_-$ と $g_+$ はそれぞれ $\Omega$ および $M \setminus \overline{\Omega}$ で平坦である。
• 質量がゼロのとき、両領域における $\Sigma$ の第二基本形式は等しくなければならない、すなわち $A_- = A_+$ である。
• 質量がゼロで、計量が $C^{3,\alpha}_{\text{loc}}$ であるとき、全多様体 $(M, \mathcal{G})$ はユークリッド計量をもつ $\mathbb{R}^3$ に等長である。
• 剛性結果から、非負のスカラー曲率をもち、十分に大きな境界平均曲率を持つ多様体における $\Sigma$ で囲まれた領域は、ユークリッド球体に等長であることが導かれる。