[論文レビュー] Positive scalar curvature and a new index theory for noncompact manifolds

Stanley Chang, Shmuel Weinbeger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、適切な漸近的分解を備えた非コンパクト多様体に対して、相対的群C*-代数と最大 Baum-Connes 写像を用いて、異常な正のスカラー曲率現象を検出する新しい指数理論を導入する。非コンパクト多様体において、各コンパクトな漸近的成分は正のスカラー曲率計量をもつが、全体として一様に正のスカラー曲率計量をもたない例を構成し、また、正のスカラー曲率計量の空間に非可算無限個の連結成分をもつ例も構成する。これは非コンパクトな設定における幾何的複雑性の新しい形を示している。

ABSTRACT

In this article, we develop a new index theory for noncompact manifolds endowed with an admissible exhaustion by compact sets. This index theory allows us to provide examples of noncompact manifolds with exotic positive scalar curvature phenomena.

研究の動機と目的

• 適切な漸近的分解を備えた非コンパクト多様体に対する新しい指数理論を構築し、コンパクトの場合の道具を拡張する。
• 最大相対的群C*-代数を用いて、境界付き多様体に対する相対的 Gromov-Lawson-Rosenberg 予想を定式化する。
• コンパクトの場合には見られない、非コンパクト多様体における異常な正のスカラー曲率行動を示す例を構築する。
• 非コンパクト多様体上の一様に正のスカラー曲率計量の空間が非可算無限個の連結成分をもつことを示す。

提案手法

• 局所化代数と一般化された漸近的準同型を用いて、KO_*(M, ∂M) から KO_*(C^*_max(π₁(M), π₁(∂M))) への最大相対 Baum-Connes 写像 μ_max を定義する。
• 多様体とその境界の基本群の情報を両方ともに符号化する相対的群C*-代数 C^*_max(π₁(M), π₁(∂M)) を構成する。
• Gromov-Lawson の手術定理を適用して、スピン多様体の連結和上の計量を変形し、正のスカラー曲率を保つようにする。
• M×ℝ 上のディラック作用素の相対的高次指数を用いて、正のスカラー曲率計量の空間における異なる連結成分を検出する。
• Pimsner の定理と Milnor 列を用いて、漸近的分解に関連する C*-代数 A(M) の KO-理論を計算する。
• Xie-Yu [42] の相対的指数定理を適用し、M×ℝ 上の計量が部分和で異なる場合には、KO_*(A(M)) 内で相対的指数が 0 でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト多様体が各コンパクトな漸近的成分では正のスカラー曲率計量をもつが、全体として一様に正のスカラー曲率計量をもたないことはあり得るか？
• RQ2 非コンパクト多様体上の一様に正のスカラー曲率計量の空間における異なる連結成分を検出できる位相的または解析的不変量は何か？
• RQ3 適切な漸近的分解を備えた非コンパクト多様体に対して、相対的指数理論をどのように拡張し、異常な正のスカラー曲率現象を検出できるか？
• RQ4 非コンパクト多様体上の正のスカラー曲率計量の空間が非可算無限個の連結成分をもつことはあり得るか？ また、そのような現象を検出する不変量は何か？
• RQ5 特定の非コンパクト対称空間において、粗い同値性が自然な計量に対して成立しないことは、一様に正のスカラー曲率計量の存在に対する障害を示唆するか？

主な発見

• 適切な漸近的分解 (M_i, ∂M_i) をもつ非コンパクト多様体 M が存在し、各 (M_i, ∂M_i) は境界でコラールされた正のスカラー曲率計量をもつが、M 自身は一様に正のスカラー曲率計量をもたない。
• 非コンパクト多様体 M 上の一様に正のスカラー曲率計量の空間 PS(M) は、非可算無限個の連結成分をもつことがある。これは、連結和の無限個の和成分で異なる計量を構成することで示された。
• M×ℝ 上のディラック作用素の相対的高次指数が、無限個の和成分で異なる計量に対して KO_*(A(M)) 内で 0 でないことを示し、PS(M) の異なる路連結成分に位置することを証明する。
• 相対的指数 ind(D_{β,β'}) は KO_*(ℝ) → KO_*(C^*_r(π₁(N))) の像に属さないため、C*-代数 A(M) の K-理論において非自明であることが示唆される。
• Milnor 列により、十分大きな i に対して KO_*(D_i^*) 内で相対的指数が非自明であることは、KO_*(A(M)) 内でも非自明であることを保証し、PS(M) における異なる連結成分を確認する。
• この構成は、非自明な高次 Â-特性類をもつスピン多様体 W に依存しており、これにより N 上に異なる正のスカラー曲率計量 α と α′ を作成でき、M 上の非可算無限個の計量族の構築に用いられる。