[論文レビュー] Positive Semi-Definiteness and Sum-of-Squares Property of Fourth Order Four Dimensional Hankel Tensors

Yannan Chen, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称的な生成ベクトルを持つ4次4次元ハンケルテンソルが、正定値（PSD）ではあるが、二乗和（SOS）ではない、いわゆるPSD非SOS（PNS）テンソルである可能性があるかどうかを調査している。理論的解析とYALMIP、Gloptipoly、SeDuMiを用いた広範な数値的検証を通じて、テストされたすべての対称的生成ベクトルに対して、SOS性の閾値（$M_0$）が正定値性の閾値（$N_0$）と正確に一致することが示され、このクラスにおいて対称性の仮定のもとでPNSハンケルテンソルは存在しないことが示唆される。

ABSTRACT

A positive semi-definite (PSD) tensor which is not a sum-of-squares (SOS) tensor is called a PSD non-SOS (PNS) tensor. Is there a fourth order four dimensional PNS Hankel tensor? Until now, this question is still an open problem. Its answer has both theoretical and practical meanings. We assume that the generating vector $v$ of the Hankel tensor $A$ is symmetric. Under this assumption, we may fix the fifth element $v_4$ of $v$ at $1$. We show that there are two surfaces $M_0$ and $N_0$ with the elements $v_2, v_6, v_1, v_3, v_5$ of $v$ as variables, such that $M_0 \ge N_0$, $A$ is SOS if and only if $v_0 \ge M_0$, and $A$ is PSD if and only if $v_0 \ge N_0$, where $v_0$ is the first element of $v$. If $M_0 = N_0$ for a point $P = (v_2, v_6, v_1, v_3, v_5)^ op$, then there are no fourth order four dimensional PNS Hankel tensors with symmetric generating vectors for such $v_2, v_6, v_1, v_3, v_5$. Then, we call such a point $P$ PNS-free. We show that a $45$-degree planar closed convex cone, a segment, a ray and an additional point are PNS-free. Numerical tests check various grid points, and find that they are also PNS-free.

研究の動機と目的

• 4次4次元ハンケルテンソルに対する未解決のヒルベルト＝ハンケル問題を解明すること。
• 正定値だが二乗和でないハンケルテンソル（PNSテンソル）が存在するかどうかを特定すること。
• 生成ベクトルが対称であるという仮定の下で、このようなPNSテンソルの存在を調査すること。
• このテンソルクラスにおける二乗和（SOS）性と正定値性（PSD）の閾値を比較すること。
• この設定においてPNSハンケルテンソルが存在しないという理論的および数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 著者らは、問題の正規化のため、$v_4 = v_8 = 1$ を固定した対称的生成ベクトル $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{13}$ を用いてハンケルテンソルを定義する。
• SOS性が成り立つ最小の $v_0$ とPSD性が成り立つ最小の $v_0$ をそれぞれ表す関数 $M_0(v_2,v_6,v_1,v_3,v_5)$ と $N_0(v_2,v_6,v_1,v_3,v_5)$ を導入する。
• 理論的解析により $M_0 \geq N_0$ が示され、等式 $M_0 = N_0$ が成り立つと、そのパrameterセットに対してPNSテンソルは存在しないことが示される。
• 著者らは、45度の平面の閉凸錐、線分、半直線、および一点といった特定の領域を同定し、$M_0 = N_0$ が成り立つことから、これらはPNSフリーであることを証明する。
• 数値的検証では、YALMIPのSOSモジュールを用いて $M_0$ を計算し、Gloptipoly/SeDuMiを用いて $N_0$ を対象の生成ベクトルパラメータのグリッド上で計算する。
• $v_1, v_2, v_3, v_5, v_6$ の複数の設定において広範な数値的テストを実施した結果、すべてのテストポイントで $M_0 = N_0$ が得られ、乖離は観測されなかった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次4次元ハンケルテンソルで、正定値ではあるが二乗和でないもの（PNSテンソル）は存在するか？
• RQ2 生成ベクトルが対称である場合、このようなPNSハンケルテンソルは存在可能か？
• RQ3 すべての対称的生成ベクトルにおいて、二乗和性の閾値（$M_0$）と正定値性の閾値（$N_0$）は等しいか？
• RQ4 $M_0 > N_0$ となるパラメータ領域が存在するか？ これはPNSハンケルテンソルの存在を示唆する。
• RQ5 数値的手法は、このクラスにおけるPNSハンケルテンソルを検出可能か？ それとも常に $M_0 = N_0$ を示唆するか？

主な発見

• 理論的解析により、$M_0 = N_0$ が成り立つPNSフリー領域として、45度の平面の閉凸錐、線分、半直線、および一点が同定された。
• すべての数値的テストにおいて $v_1 = v_3 = v_5 = 0$ の場合、220個のグリッドポイントで $M_0$ と $N_0$ が同一であったため、PNSテンソルは検出されなかった。
• $v_1 = v_2 = v_3 = 0$ で $v_5, v_6$ を変動させた場合、$M_0$ と $N_0$ は同一のまま維持され、等高線図では $M_0 = N_0 = 500$ の場合に「炎の風船」に似た形状が観測された。
• すべてのパラメータセット $v_1, v_2, v_3, v_5, v_6$ に対して、グリッド上のすべてのテストポイントで $M_0 = N_0$ が得られ、乖離は観測されなかった。
• $v_6$ は有効領域および $M_0$ と $N_0$ の挙動に顕著な影響を及ぼす一方、$v_1$ はわずかな影響しか与えない。
• 線分 $L$ 上の臨界値は正確に 1 である。一方、錐 $C$ 上では補助パラメータ $\theta$ の4次多項式として表され、半直線 $R$ および点 $A$ 上では無理数となる。これは、完全な解析的証明が非自明であることを示唆している。