[論文レビュー] New Classes of Positive Semi-Definite Hankel Tensors

Qun Wang, Guoyin Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、強いハンケルテンソルでない新しい正定値半定値ハンケルテンソルのクラス、特に切り捨て型および準切り捨て型ハンケルテンソルを導入する。絶対可積分関数によって生成される強いハンケルテンソルは完全分解可能であることを証明し、完全分解可能でないSOSハンケルテンソルの明示的例を構成することで、ハンケルテンソルクラスの階層に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

A Hankel tensor is called a strong Hankel tensor if the Hankel matrix generated by its generating vector is positive semi-definite. It is known that an even order strong Hankel tensor is a sum-of-squares tensor, and thus a positive semi-definite tensor. The SOS decomposition of strong Hankel tensors has been well-studied by Ding, Qi and Wei \cite{DQW1}. On the other hand, very little is known for positive semi-definite Hankel tensors which are not strong Hankel tensors. In this paper, we study some classes of positive semi-definite Hankel tensors which are not strong Hankel tensors. These include truncated Hankel tensors and quasi-truncated Hankel tensors. Then we show that a strong Hankel tensor generated by an absoluate integrable function is always completely decomposable, and give a class of SOS Hankel tensors which are not completely decomposable.

研究の動機と目的

• 強いハンケルテンソルでない新しい正定値半定値ハンケルテンソルのクラスを同定・特徴付けること。
• ハンケルテンソルの文脈において、完全分解可能性、強いハンケルテンソル、およびSOS分解の関係を調査すること。
• すべての完全分解可能なハンケルテンソルが強いハンケルテンソルであるかどうか、および切り捨て型ハンケルテンソルが完全分解可能かどうかという未解決問題を解明すること。
• 完全分解可能でないSOSハンケルテンソルの具体例を構成し、ハンケルテンソルクラス内に厳密な階層が存在することを示すこと。

提案手法

• 特定の生成ベクトルを用いて、偶数インデックスで対称的かつ符号が交互に変化し、それ以外はゼロであるような切り捨て型および準切り捨て型ハンケルテンソルを定義する。
• リーマン和の極限によるSOS分解を用いて、特定のハンケルテンソルがSOSであることを示し、非負の重み関数を活用する。
• バーデンバーグ分解を用いて対称テンソルをランク1テンソルの和として表現し、偶数次元テンソルに対して完全分解可能性を確立する。
• 同次多項式表現における係数の比較により反例を構成し、$x_1^{m-2}x_2^2$の係数に矛盾を示すことで、完全分解可能性の反証を行う。
• 継承性および極限の性質を用いて、完全ハンケルテンソルの極限が常に完全分解可能であることを示し、極限に関しての閉包性を確立する。
• 離散測度による近似を用いて、絶対可積分な非負関数によって生成される強いハンケルテンソルが完全分解可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いハンケルテンソルでない正定値半定値ハンケルテンソルは存在するか？
• RQ2 すべての完全分解可能なハンケルテンソルは、必然的に強いハンケルテンソルであるか？
• RQ3 切り捨て型ハンケルテンソルは完全分解可能であるか？
• RQ4 完全分解可能でないSOSハンケルテンソルは存在するか？
• RQ5 絶対可積分な非負関数によって生成される強いハンケルテンソルは、常に完全分解可能であるか？

主な発見

• 絶対可積分な非負関数によって生成される強いハンケルテンソルは、常に完全分解可能である。
• $m=2k$（$k\geq2$）、$n=2$の偶数次元において、生成ベクトルが$v_0 = v_m = 1$、$v_{2l} = v_{m-2l} = -1/{m \choose 2l}$（$l=1,\ldots,k-1$）、それ以外は$v_j=0$であるような、完全分解可能でないSOSハンケルテンソルの明示的例が構成された。
• この例は、関連する同次多項式を二項式の平方和として表現することで、正定値半定値かつSOSであることが示された。
• 同じ例は完全分解可能でない。ランク1分解における$x_1^{m-2}x_2^2$の係数が負の和を形成し、非負性と矛盾するためである。
• この例により、SOSハンケルテンソルのクラスは完全分解可能なハンケルテンソルのクラスを厳密に包含していることが示された。
• 本稿は、すべての完全分解可能なハンケルテンソルが強いハンケルテンソルであるとは限らないこと、およびすべての切り捨て型ハンケルテンソルが完全分解可能であるとは限らないことの未解決問題を解決した。